Développement asymptotique de u_(n+1) = sin(u_n)

[DavianThule95]

Bonjour,

Depuis quelques jours, je m'attèle à la détermination d'un certain développement asymptotique.

On considère la suite définie par et pour tout n, .

Je tente de déterminer le développement asymptotique à l'ordre 3 de cette suite (qui tend vers 0).

Pour l'instant, j'ai réussi à déterminer les 2 premiers termes :



Mais rien n'y fait, je n'arrive pas à déterminer le troisième terme... Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance !

PS : La méthode que j'ai suivie pour déterminer les deux premiers termes consiste à considérer , à lui trouver un DA, et par téléscopage, à se ramener au DA de .
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[DavianThule95]

En fait, j'ai continué les calculs et j'ai l'impression que je vais finir par obtenir un résultat, mais mes calculs me semblent louches.
Les voici :
4.png
5.png

Vous voyez des erreurs ?

[jacknicklaus]

Bonjour,

pour ma part, je trouve



En attendant confirmation d'autres calculateurs...

[DavianThule95]

Bonjour,

tout d'abord merci pour votre réponse !

J'avais posé la question à l'adresse suivante : https://math.stackexchange.com/quest...915772_3837694

Et il semblerait que le DA soit :


Mais ça a l'air plutôt dur à calculer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fartassette]

Bonjour,
Tu n'étais pas loin du résultat , tu as bien remarqué que


Il suffisait d'appliqué le théorème de sommation des relations de comparaison ou Cesàro : , On remarque deux types de série dont une qui converge l'autre c'est la série harmonique

Je ne trouve qu'un seul coefficient dans le développement asymptotique du sinus !

[DavianThule95]

Bah en fait, je suis pas très serein sur l'ordre des DA. Par exemple pour la série harmonique, là on est en présence de , et ça certes ça équivaut à ln(n), mais j'ai l'impression qu'il faut que j'écrive qqch du style ln(n) - 1/n car le dernier terme manque. Et encore une fois, même si je pousse le développement asymptotique jusqu'à H_n = ln(n) + gamma + o(1), vu que dans ma suite j'ai du , j'ai pas trop l'impression que ça suffise (je veux dire que o(ln(n)/n^2) est inclus dans o(1)

Tu vois ce que je veux dire ? Oui je vois bien que je suis prêt du but, mais je vois pas comment conclure proprement, sans faire de raccourcis un peu trop rapides

[fartassette]

Oui je vois bien le problème , mais rien ne t'empêche de pousser le DA essaie avec

je reste perplexe sur la réponse qu'on t'a donné .Je trouve qu'une seule constante

[gg0]

Voir cet autre forum.

[DavianThule95]

Merci ! C'est exactement ce qu'il me fallait !

[fartassette]

Tant mieux, tu as réussi alors à exhiber la constante ..

[jacknicklaus]

Je corrige mon message #3 où j'ai fâcheusement oublié les termes où se trouvent cette fameuse constante C.



où



Ce ne sont pas exactement les coefs proposés par le message#4, mais par exemple le coef 27/209 au lieu de 27/200 est certainement une coquille. Si d'autres calculateurs veulent bien se farcir ce problème, nous pourrions en avoir le cœur net.