équation différentielle du second ordre avec second membre polynomiale

[bokcho]

Bien le bonjour,

Encore une fois en préparant mes examens universitaires je suis resté coincé sur un exercices mais cette fois ci sur la réponse . Évidemment je n'ai pas la science infuse et il est donc possible que ce soit moi qui me suit trompé et c'est pour cela que je vous pose ma question avec mon raisonnement.
(ancien examen de math et la case noircie est censé représenter la bonne réponse)


Donc nous sommes face à une équation différentielle du second membres avec second membre polynomiale. Première chose que je fais c'est calculer la solution général qui est bonne donc A - Be^2x comme la réponse sur la photo l'indique. Le problème vient lors du calcul de la solution particulière qui n'est pas du tout ce dont à quoi je m'attendais. J'ai cherché une solution particulière de la forme ax^2 + bx + c car le second membre vaut x^2 + 1

donc
y=ax^2 + bx + c (x 1)
y'= 2ax + b ( x rien car pas de membre en "x" dans le second membre)
y''= 2a (x4)
Je fais différents systèmes pour déterminer a,b et c

mais j'obtiens comme solution particulière -1/2 x^2 - x - 3/2 ce qui n'a rien à voir.

Pouvez m'expliquez pourquoi et comment je n'obtiens pas la bonne réponse svp ? Et aussi tenter de le résoudre afin que je puisse voir où est ce que je me suis planté

Je dis déjà un grand merci en avance à la personne qui me viendra en aide

Bonne Journée
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[ansset]

mais j'obtiens comme solution particulière -1/2 x^2 - x - 3/2 ce qui n'a rien à voir.

tu peux vérifier qu'elle est fausse.
elle est forcement de degré 3 à minima.

[gg0]

Si tu pars avec y=ax²+bx+c, le calcul de 2y"-4y' ne donne pas de x², donc ton y ne convient pas.

C'est amusant ce -B (*) !

Cordialement.

(*) B étant quelconque, -B ne dit rien de plus que +B.

[ansset]

Par déduction ( c'est un QCM, pas tout à fait un exercice en partant de 0, donc on ne te demande pas ici de refaire la démo ) tu peux donc oublier le A) polynôme du second degré insuffisant.
ainsi que le C) car la dérivée simple ferait apparaître un rac(2) isolé.
et pour vérifier que B) est bon, il suffit de le vérifier.
s'il y avait une erreur ( sur les coeff de B) par exemple ) alors c'est la réponse D) par défaut.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

@gg0:
de même, j'ai trouvé le -B assez curieux.
mais on ne va pas reprocher aux matheux d'avoir ( par moment ) des "élans" un peu "artistiques" ...

[bokcho]

Ce que je ne comprend pas c'est d'où vient ce degré 3 ? Comment on arrive à ce résultat ci ?

[ansset]

parce qu'il est nécessaire que 2y"-4y' fasse apparaître un degré 2, ce qui n'est pas possible avec un polynôme de degré 2.

[stefjm]

(*) B étant quelconque, -B ne dit rien de plus que +B.

Peut être pour planter l'étudiant qui pense que la solution +B est la seule valable?

[bokcho]

je ne comprend toujours pas l'apparition du degré 3... parce que x^2 +1 c'est du second degré donc comment ça se fait que ax^2+bx+c ne marche pas dans ce cas.

[ansset]

parce que la dérivée seconde fait apparaître un terme constant. (2a)
et que la dérivée première elle, ne fait apparaître qu'une fct du premier degré. (2ax+b )
donc impossible que le résultat soit du second degré, ce qui est attendu ici.

ps: il n'y a pas de f dans l'équation, uniquement des f' et f".

[gg0]

Bochko,

tu as peut-être en tête une propriété fausse. Un polynôme de même degré que le second membre ne convient pas toujours.

[ansset]

Peut être pour planter l'étudiant qui pense que la solution +B est la seule valable?

les deux sont valables à l'identique , c'est juste une question d'écriture.
il se peut que j'ai mal compris ton commentaire.
cordialement.

[bokcho]

dans ce cas c'est quoi le polynome qui va me permettre de déterminer la solution particulière ?

[Merlin95]

Essaie le B, car le A est écarté (ainsi que le C aussi).

[ansset]

Mais si tu "veux" le résoudre, tu as compris qu'il te faut partir d'un polynôme de degré 3




soit

qui doit être égal à
d'où
-12a=1
12a-8b=0
4(b-c)=1
et on déduit les valeurs de a,b et c ( d n'a pas d'importance car c'est une constante )

sauf faute de frappe possible.

[bokcho]

veuillez m'excuser c'est peut-être la fatigue où que sais-je mais je viens de comprendre pourquoi c'est un degré 3 . De plus je possède une fiche me permettant de déterminer le degré à utiliser pour résoudre l'équation mais j'avais mal lu en fait j'avais oublié que dans ce cas ci y = 0 donc dans ma fiche la formule c'est x.Exposant donc comme l'exposant de base c'est x^2.x= x^3 voilà voilà

Je tenais à vous remercier

[gg0]

En fait, ton équation se ramène au premier ordre : En posant z=y', tu as à résoudre 2z'-4z=x²+1, ce qui est facile, puis intégrer.

Cordialement.