Equation Differentielle D'ordre 2, 2nd membre constant, a coefficient constants

[samsamm6]

Bonsoir, j'ai un petit problème avec une équation différentielle du type ay''+by'+cy=d ou a,b,c,d sont donc des constantes.
Je sais qu'on peut trouver la solution en sommant la solution du polynôme caractéristique (az²+bz+c=0) et une solution particulière de l’équation non-homogène. J'ai du mal avec la 2ème partie. Je précise que les solutions du polynôme caractéristique est "-400 +/- 800i".

Quelqu'un pourrait me dire quoi faire après avoir trouvé cette première solution ?

Merci beaucoup de l'aide.
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[Universus]

En fait, pour une équation différentielle linéaire comme celle que tu as, la solution générale au problème inhomogène s'exprime comme la somme de la solution générale au problème homogène et d'une solution particulière au problème inhomogène.

Ainsi, il te faudra trouver 1) la solution générale à ay'' + by' + cy = 0 et 2) une solution particulière à ay'' + by' + cy = d. Pour 1), en tentant une solution de la forme (avec r à trouver), nous calculons que , ce qui ne peut être nul que si l'est. Ainsi tu as déjà trouver deux solutions (une pour chaque r) au problème homogène et n'importe quelle solution à ce problème s'exprime comme une combinaison linéaire de ces deux solutions. Pour le 2), il est plutôt simple de trouvé des solutions particulières (dans le cas présent évidemment, je ne parle pas généralement). Par exemple, si , alors fonctionne.

[samsamm6]

Merci de la réponse
Donc pour trouver la solution general de l'EH, j'obtient C1*e^((-400-i800)t)+C2*e^((-400+i800)*t)
Puis j'ai essayé de mettre en évidence de manière a voir une solution de la forme e^at(Asin(alpha)+Bcos(alpha)) et jai obtenu
e^-400t(cos(800t)*(C1+C2)+isin(80 0t)(C1-C2))
Avec A = C1+C2 et B = i(C1-C2) j'obtiens e^-400t(A*cos(800t)+B*sin(800t)).
C'est juste de faire ça ? Donc j'ai eu la solution particulière comme vous me l'avez indiqué et j'ai fait la somme de la solution général et d'une solution particulière, et ,comme on avait des conditions initiales, je devais identifier les C1 et C2
Les CI sont y=0 et y'(0)=0. Donc la je devais faire quoi a partir de là ?

Merci =)

[Universus]

Tu sembles seulement exprimer différemment la solution générale au problème homogène, ce qui ne donne en rien une solution au problème particulier. Je vais me permettre d'être plus détaillé.

1. Problème homogène avec (sinon le problème est encore plus simple). Pour trouver la solution générale, il suffit (par linéarité de l'équation) de trouver deux solutions particulières indépendantes. Tentons la fonction : alors . Cela ne peut être nul que si , c'est-à-dire que si vaut l'une des deux valeurs .

Admettant que nous sommes dans une situation où , alors et ainsi les fonctions et sont deux solutions différentes (et en fait indépendantes) au problème homogène. Cette indépendance implique qu'une solution quelconque s'exprime comme pour A et B des constantes (possiblement complexes).

Évidemment, . Si , alors est réel (positif, par convention). Alors , donc , ce qui s'exprime encore sous la forme .

Ça correspond à ce que tu as obtenu, mais remarque qu'il s'agit toujours du problème homogène.

2. Problème inhomogène avec une constante. Si , alors résout le problème. Dans ce cas, une solution quelconque peut s'exprimer comme . À la vue des chiffres que tu utilises, ton problème a bel et bien , donc tu as une expression pour la solution générale à ton problème inhomogène.

[A voir en vidéo sur Futura]

[samsamm6]

Mon équation différentielle de départ était 1,25q''+1000q'+1000000q=12 avec comme condition initiale q(0)=0 et q'(0) =0 donc une fois que j'ai obtenu C1*e^-400t*cos(800t)+C2*e^-400t*sin(800t) + 12/1000000 (est-ce juste ?) comme solution général de l'equation inhomogene.
Comment faire pour identifier le constantes C1 et C2?
Dois-je remplacer, dans la solution obtenue, t par 0 et ensuite égaler la fonction à 0 , puis dériver la solution et à nouveau remplacer t par 0 et égaler à 0 ? Si je fais ça j'obtiendrai un systeme de deux equation à deux inconnues et puis je resouds et j'obtiens C1 et C2 non ?

q(0)=0 <=> C1 + 12/1000000 = 0
q'= C1*(e^-400t*cos(800t)-sin(800t)*e^-400t)+C2*(e^-400t*sin(800t)+e^-400t*cos(800t))
q'(0)=0 <=> C1 + C2 = 0

[Universus]

C'est exactement ça l'idée!

[gg0]

Bonsoir.

Dois-je remplacer, dans la solution obtenue, t par 0 et ensuite égaler la fonction à 0 , puis dériver la solution et à nouveau remplacer t par 0 et égaler à 0 ?

Ben oui, c'est ce que disent tes conditions initiales.

Par contre, il semble y avoir une erreur dans ta deuxième équation : C2 est la moitié de C1.

Cordialement.

NB : Un changement d'unité sur q aurait simplifié les calculs.

[samsamm6]

Ah d'accord.

Merci beaucoup.

Bonne soirée.