Equation différentielle linéaire du second ordre a coefficient constant

[invite3ef5304d]

Bonjour,

J'ai un devoir a faire avec différentes equations différentielles. J'arrive a résoudre celle qui sont non linéaire, et celle qui sont linéraire de 1er ordre à coefficient constant.
Mais, je suis bloqué sur une equation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant, et je n'ai pas compris tout le cours sur la résolution de ces dernières. Je bloque au moment ou c'est dit si ", on cherche, à l'aide des coefficients indéterminés, un polynôme Q de même degré que P et vérifiant l'équation (6.1) " (vers la fin du fichier fourni)
En fait, je ne comprends pas ce qu'il faut faire concrètement...

Je met mon cours ci-desous.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?


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[Bleyblue]

Salut !

Sans rentrer dans les détails techniques (que j'ai d'ailleurs oublié ) :

"on cherche, à l'aide des coefficients indéterminés, un polynôme Q de même degré que P et vérifiant l'équation (6.1)"

Veut dire que tu prends un polynôme Q de même degré que ton polynôme P et dont tu désignes les coefficients par a,b,c, ...
Tu injectes ce polynôme dans ton équadiff ce qui devrait te permettre de déterminer tes coefficients (c'est ce qu'on appel la méthode des coefficients indéterminés)

Par exemple si P = x³ + 1 et bien tu poseras P = a + bx + cx² + dx³ que tu injectes dans ton équadiff. Tu tomberas sur un système linéaire en a,b,c,d que tu n'auras plus qu'a résoudre pour tomber sur une solution particulière de ton équadiff

[invite3ef5304d]

Salut,

Merci pour l'explication, j'ai tout compris, et j'ai pu terminer mon exercice.

Merci beaucoup.

[invite8332800a]

Bonjour,
J'aimerais savoir comment on fait pour :

y" - 4y' + 3y = ch (x)

merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1db95efe]

Bonjour :

-Tu résous d'abord l'équation homogène associée cad :

L'équation caractéristique est :
Son discriminant
On est dans le cas où les solutions sont de la forme

avec r_1 et r_2 les racines de l'équation caractéristique donc
r_1=1
r_2=3

-Tu recherches une solution particulière de l'équation : il faut exprimer cosinus hyperbolique qui n'est rien d'autre que

Tu peux couper la somme en deux et te ramener au cas P(x)exp(x) que tu connais.

Une solution de l'équation donnée s'écrit comme la somme d'une solution particulière et d'une solution de l'équation homogène (ppe de superposition).