Bonjour,
Je suis étudiant en licence 3 de physique et lors d'un projet de physique théorique, je suis amené à résoudre l'équation différentielle
d²X(t)/dt² + A(t) . dX(t)/dt + w(t)² . X(t) = 0
sachant que A(t) = a/(at+b)
et w(t) = racine²(k/(at+b))
où a<0, b>0, k>0 constants
Voilà je suis en panne sèche de méthode, est-ce que quelqu'un pourrait m'orienter.
Merci
J'ai oublié de préciser, je me restreint à 0<t<-b/a pour que at+b >=0
il faut regarder du coté des fonctions de Bessel
Bonjour,
fais le changement de variable :
T = p*(at+b)^q
et calcule les valeurs des constantes p et q (très simples) qui ramènent à une équation de Bessel dont les solutions de base sont Jo(T) et Yo(T)
alors mon changement de variable T=p(at+b)^q me donne :
dT=a.p.q.(at+b)^(q-1).dt
et quand je remplace je trouve :
a².p².q².(T/p)^[(2q-2)/q]. d²x/dT
+a².p.q.(T/p)^[(q-1)/q +q]. dx/dT
+k.(T/p)^q.x = g
Et la je suis censé pourvoir reconnaitre une fonction de Bessel selon les valeurs de p et q ?
Salut,
il y a plusieurs erreurs dans tes calculs de changement de variable.
Lorsque tout sera correct, tu trouveras que, pour obtenir:
d²X/dT²+(1/T)dX/dt+X=0
il faut que q=1/2 et p=(2/a)*(k^(1/2))
ok merci beaucoup.
Je suis le roi pour faire des erreurs dans le changement de variables XD
Je vérifie mes calculs alors.
Encore merci
je suis désolé, je n'arrive pas à trouver mes erreurs. Je vous donne le détail de mes calculs :
T= p(at+b)^q
dT/dt=d{p(at+b)^q}/dt
dT/dt=p.d{(at+b)^q}/dt
dT/dt=p.d(at+b)/dt.q.(at+b)^(q-1)
dT/dt=p.a.q.(at+b)^(q-1)
dT=p.a.q.(at+b)^(q-1).dt <=> dt=(1/apq).(at+b)^(1-q).dT
Dans cette étape, disons "préliminaire", tout va bien.
dt=(1/apq).(at+b)^(1-q).dT est correct,
Il faut ensuite exprimer dX/dt en fonction de dX/dT et de T sans qu'il ne reste de t dans cette expression.
Jusque là, le risque d'erreur est faible. C'est ensuite que ça se corse.
Qu'avez-vous trouvé pour d²X/dt² exprimé en fonction de T, de dX/dT et de d²X/dT², sans qu'il ne reste dedans aucun t ?
.
En effet en partant de l'équation qui contient t, dX/dt et d²X/dt², le changement de variable "bien fait" implique de rempacer dX/dt et d²X/dt² par des expressions qui ne contiennent plus aucun t, ni aucune dérivée relative à t.
En effet je viens de voir mes erreurs sur le changement de d²X/dt².
Maintenant je trouve cela :
d²X/dt² =
d²X/dT².a².p².q².(T/p)^(-2q²+2q) +
dX/dT.a².p.q².(-q²+q).(T/p)^(-2q²+2q)
dX/dt = dX/dT.a.p.q.(T/p)^(-q²+q)
En espérant que cette fois ci je n'ai pas fait d'erreur.
C'est sur la bonne voie, mais il reste des erreurs dans les rempacements des (at+b) en fonction de T.
ok donc si je vous dit maintenant :
d²X/dt² =
d²X/dT².a².p².q².(T/p)^[(2q-2)/q] +
dX/dT.a².p.q.(q-1).(T/p)^[(q-2)/q]
dX/dt = dX/dT.a.p.q.(T/p)^[(q-1)/q]
cette fois ci est-ce correct ?
OK. On est d'accord !
Maintenant, c'est un peu moins sportif. Il faut reporter dans l'équation et mettre tout cela sous la forme :
d²X/dT² + (...?...)*(dX/dT) + (...?...)*X = 0
Après transformation pour que le coefficient de d²X/dT² soit 1, que trouvez-vous dans les deux parenthèses ?
alors, une fois les remplacements fait je trouve :
a².q².p^(-2/q).T^[(2q-2)/q].d²X/dT²
+a².q².p^(-2/q).T^[(q-2)/q].dX/dT
+k.p^(1/q).T^(-1/q)X
=g
et pour avec le facteur 1 devant d²X/dT² je trouve :
d²X/dT²+T.dX/dT+k/(a²q²).p^(3/q).T^[(q-3)/q].X =g/(a²q²).p^(3/q).T^[(q-3)/q]
Premièrement , je vous rappelle l'énoncé de votre problème (votre message n°1) :
Pourquoi y a-t-il maintenant "g" à la place de 0 à droite du signe égal ?d²X(t)/dt² + A(t) . dX(t)/dt + w(t)² . X(t) = 0
sachant que A(t) = a/(at+b) et w(t) = racine²(k/(at+b))
Si vous changez l'énoncé en cours de route, on va dans le mur.
Deuxièmement, il y a encore des erreurs, même avant de diviser par le coefficient de d²X/dT²
il y a bel et bien un g en second membre je comprend pas pourquoi je ne l'ai pas mis dans le premier message ...
Oubliez ce "g" et essayez d'arriver au bout de la résolution de l'équation homogène (c'est à dire avec =0 ). C'est, de toute façon, indispensable. Il faut connaître les solutions de l'équation avec =0 pour pouvoir, ensuite, trouver celles avec =g.il y a bel et bien un g en second membre je comprend pas pourquoi je ne l'ai pas mis dans le premier message ...
Bonjour,
je travail en binôme avec necton IV.
Mon collègue a oublié de mettre le g car à la base on a pensé résoudre:
d²X(t)/dt² + A(t) . dX(t)/dt + w(t)² . X(t) = 0
sachant que A(t) = a/(at+b)
et w(t) = racine²(k/(at+b))
où a<0, b>0, k>0 constants.
On obtiendrait alors les solutions homogènes.
Puis on "s'occuperait" du cas de g afin de déterminer la solution particulière de cette équation. Ce qui nous donnerait finalement une solution globale :
x = x(homogéne) + x(particulier).
C'est bon si on fait comme ça?
Tout à fait, c'est bien comme cela qu'il faut procéder.
Ton binôme NectonIV est très près du but. Mais il ne faut pas d'erreur dans les derniers calculs qui restent à faire.
alors en remplaçant je trouve : ( F=(T/p) )
a².p².q².F^[(2q-2)/q] d²X/dT²
+a².p.q.(q-1).F^[(q-2)/q] dX/dT
+a².p.q.F^(-1/q).F^[(q-1)/q] dX/dT
+k.F^(-1/q).X
=0
je regroupe et je factorise ça me donne
a².p².q².F^[(2q-2)/q] d²X/dT²
+ a².p.q².F^[(q-2)/q] dX/dT
+ k.F^(-1/q).X
=0
je n'ai pas l'impression que ça ait changé par rapport a precedemment
La mise en forme étant incomplète, il m'est difficile de comparer avec mon résultat, donc de donner un avis avec totale certitude.
Néanmoins, il me semble que c'est correct. En effet, les erreurs que j'avais remarquées se situaient dans les puissances de p. Dans ta nouvelle formule, les puissances ne sont pas regroupées puisqu'il reste des (T/p) et que le coefficient de d²X/dT² n'a pas été ramené à 1.
Sous cette forme, tu auras du mal à trouver les valeurs de p et q qui ramènent à l'équation de Bessel. Ce serait beaucoup plus évident sous la forme :
d²X/dT² +(...)*(dX/dT) +(...)*X = 0
cela donne :
d²X/dT²+1/T.dX/dT+k/(a²q²).p^(-1/q).T^[(-2q+1)/q]X=0
et je trouve bien q = 1/2 et p = 2.k^(1/2)/a
J'y suis arrivé ^^
donc maintenant si j'ai bien suivi tout le raisonnement, je dis que ma solution homogène se décompose sur la base Jo(T) et Yo(T).
Il me reste à trouver une solution particulière et la somme solution homogène plus solution particulière me donnera l'ensemble des solutions de mon équation. C'est bien cela ?
pour la solution particulière plus de grande difficulté :
J'ai posé At+B et j'ai trouvé
A=ag/k
B=g(b/k-a²/k²)
Je pense être arrivé à bout de cette équation différentielle
Je vous remercie fortement pour la grande aide que vous m'avez apportée. Grâce à vous j'aurai quelque chose à raconter pour ma partie théorique lors de ma soutenance oral.
Merci beaucoup
En fait, à ce stade des calculs, le coefficient de dX/dT n'est pas encore 1/T et est plus compliqué. Mais cela ne change rien car, un peu plus tard, lorsqu'on donne à p et q les valeurs trouvées, il se simplifie et se réduit à 1/T. Donc, tout est bien qui fini bien...cela donne :
d²X/dT²+1/T.dX/dT+k/(a²q²).p^(-1/q).T^[(-2q+1)/q]X=0
Bravo pour la persévérance !
Juste une dernière petite question pour satisfaire ma curiosité. Comment avez vous fait pour trouver ce changement de variable ?
Est-ce une méthode générale ? ou est-ce de l'intuition ou de l'expérience ?
Certes, l'intuition et l'expérience ne sont pas inutiles. Mais ce n'est pas ce que je citerais en premier. Mon classement serait plutôt celui-ci :Comment avez vous fait pour trouver ce changement de variable ? Est-ce une méthode générale ? ou est-ce de l'intuition ou de l'expérience ?
1. Du travail : ne pas reculer à faire de nombreux essais de recherches dans le plus de directions possibles, même si cela demande beaucoup de temps et d'efforts.
2. Du soin : ne pas faire d'erreur de calcul ou d'écriture. La moindre erreur peut faire croire qu'une piste n'est pas bonne alors que c'est justement celle-là qui aurait conduit à trouver la solution
3. De l'expérience : lorsqu'on a vu beaucoup de cas, traité de nombreux problèmes et que l'on a appris un maximum de choses, on reconnait plus facilement des analogies entre un nouveau problème et un ancien dont la solution est connue. Ce qui oriente vers une ou des méthodes connues pour aborder ce nouveau cas.
4. De l'intuition : Certes, bien que je mette cette faculté en dernier, elle est très utile : elle évite de perdre du temps à des recherches dans des directions peu prometteuses. Certes, celui qui a de l'intuition est très avantagé car il s'orientera plus facilement vers une bonne méthode pour résoudre le problème. Mais celui qui manque d'intuition peut y arriver aussi, à force de travail, de soin et s'il a suffisamment de connaissances
.
Par exemple, pour en revenir au cas de l'équation différentielle en question :
La forme générale de l'équation pouvait faire songer à une équation du genre Bessel. D'où la décision d'investir plus de temps à chercher dans cette direction (Là, c'est l'expérience qui parle).
On peut toujours essayer différents changements de variable en espérant que l'un d'eux va simplifier l'équation. Un premier changement de variable assez évident : T1 = at+b permettait une première simplification. S'agissant d'un exercice scolaire, il y a fort à parier qu'un changement de variable efficace ne serait pas trop compliqué. D'où l'idée de regarder du coté de fonctions très simples pour commencer : la fonction puissance par exemple. D'où un second changement de variable T2 = T1^q. (Là c'est du travail et du soin). Le résultat encourageant montrait qu'il manquait encore un petit quelque chose pour arriver à une forme basique d'équation de Bessel. Un troisième changement devenait évident : T3 = p*T2 et conduisait à la réussite.
Finalement tous ces changements se résumaient en un seul, plus global : T = p*(a*t+b)^q , celui qui a été proposé.
J'espère que ces indications vous seront utiles, à vous et à d'autres usagers de ce forum.
A ce qui précède, j'ajouterai une petite remarque et question, que je soumets à la réflexion de tous :
"L'intuition est-elle une faculté innée ou acquise ? "
N'est-ce pas à force d'apprendre, de travailler et d'expérimenter par des exercices, que l'on acquiert des mécanismes de pensée, des reflexes et des raisonnements inconscients qui, devant tel ou tel problème, font entrevoir quasi instantanement la solution, ou une partie de la solution ? Autemement dit, ce qui se cacherait sous le nom "d'intuition".
Enfin, pour compléter la scéance des conseils gratuits, en voici un autre, bien que peu recommendable (quoi que ...)
Si l'équation différentielle en question avait été soumise à un logiciel de calcul formel tel qu'il en existe de nos jours (MAPLE par exemple, ou Wolfram Alpha sur le web, etc...) la solution serait sortie en quelques seconde : méthode très appréciée par les partisans du moindre effort, ou par ceux qui ont autre chose à faire que de passer leur temps à des calculs qu'un logiciel peut exécuter beaucoup plus rapidement ... et sans se tromper !
Néanmoins, ce conseil que d'aucuns qualifieront de "mauvais", ne l'est pas tant que cela : Il y a tant de gens qui perdent leur temps à réinventer ce qui existe déjà et à redécouvir des choses déjà connues. Alors qu'une simple recherche sur la toile leur aurait évité ce travail ... et parfois des désillusions ultérieures.
