Bonjour,
Je suis confronté à la résolution de l'équation suivante.
a.x^7/5 + b.x^5/7 + c.x + d = 0
Je me sens démunie face à une telle équation et une solution "simple" serait la bienvenue... J'ai bien pensé à un changement de variable, mais je bloque toujours.
En vous remerciant par avance.
Fidi
ce qui t'embete le plus pour commencer , ce sont les fractions en puissance.
donc un changmeent de variable qui enlève ces puissances seraient une bonne idée.
quel serait un "qqchose"
de sorte que
(qqchose) ^5/7
et
(qqchoe)^7/5
soient à puissance entière ?
(qqchose)^35
mais il faut savoir résoudre un polynôme d'ordre 7 ...
J'arrive à:
X^49 + (c/a).X^35 + (b/a).X^25 + (d/a) = 0
Mais je ne suis pas bien avancé.
Je sais que la somme des racine vaut -c/a
et que le produit des racine vaut -d/a
mais je n'ai pas assez d'équation pour trouver mes racines.
Il n'y a pas de formule algébrique pour les équations polynomiales de degré supérieur à 4.
Donc vous n'aurez pas de formule.
Votre recherche est vaine.
Pour chaque valeur des a,b,c et d, je devrai résoudre l'équation graphiquement
Merci pour vos réponses
Avez-vous essayé avec les logarithmes sachant que
log(a x^7/5) = log(a) + 7/5 log(x)
Ca ne va rien changer sur la théorie, puisqu'on a su transformer l'équation initiale en une vraie équation polynomiale de degré 49.
Graphiquement, ou numériquement, avec des algorithmes.
En fait, je n'ai aucune idée du nombre de solutions.
Si la fonction f(x) est définie dans dans un intervalle précis, et si on peut démontrer, ou admettre, que sur cet intervalle elle est dérivable et monotone, la pente de la tangente à la courbe est égale à sa dérivée.
Il faut aussi trouver une solution approchée.
En ce point, la courbe peut être assimilée à sa tangente, d'où une solution approchée plus précise etc. (de mémoire, ce sont les itérations de Gauss ou de de Newton)
Je ne pense pas qu'on puisse la résoudre graphiquement, il faudrait déjà pouvoir la représenter.
Selon les valeurs, vous pourrez avoir entre 1 et 49 solutions réelles, si vous acceptez les racines négatives (ici, on peut, car on peut donner un sens à x7/5 et x5/7 avec x négatif).
Toutefois, je pense que tous les nombres de racine dans ces bornes ne peuvent pas être obtenus.
Dans ma problématique, ma solution est un réel positif.
Je suppose que les paramètres a, b, c, d dépendent de conditions précises, et que la solution cherchée est une racine unique.
Si vous me donnez deux ou 3 exemples de paramètres, je peux vous faire un petit truc qui vous donnera la racine ou les racines, suivant la méthode que j'ai décrite.
Merci Dlzlogic.
Si je pars de mon équation de départ (pour éviter toute erreur de mise en forme:
k.(a.x^7/5 + b.x^5/7 + c.x + d) = res
Je peux vous donner 3 cas.
Cas 1:
k=0,1
a=0,0489
b=164,7126
c=-15,2978
d=156214,4
res = -28,13
Solution: x=39846
Cas 2:
k=0,05
a=0,0462
b=164,7126
c=-14,6411
d=147753,46
res = -121,94
Solution: x=42634
Cas 3:
k=0,01
a=0,0438
b=132,0646
c=-12,0145
d=142069,63
res = -14,91
Solution: x=52892
Ces exemples donne un aperçu des paramètres qui ne varient pas beaucoup.
Encore merci pour votre aide
Bonjour,
Résultat dans l'après-midi .
Sous forme d'un petit exécutable en ligne de commande ? ou sous Windows avec fenêtre de saisie, ou via le Net ?
Les solutions numériques, il les a trouvées...
Je peux trouver les solutions en faisant une recherche des valeurs les plus proche dans une table, et en interpolant linéairement.
Mais je préfèrerait avoir une équation qui me donne la valeur cherchée, plus ergonomique et plus rapide à mettre dans un automate programmable...
Pour le premier cas, vous avez une seconde racine autour de 917662
@breukin
Manifestement, il ne s'agit pas d'un problème théorique, donc une racine voisine de 1000000 ne parait pas être une solution.
Dans ce type de problème une solution approchée est généralement nécessaire, voire indispensable.
Voila un bout de code qui trouve une solution à partir d'une valeur approchée.
Il serait intéressant de déterminer la valeur approchée en fonction des paramètres. Ou alors un simple examen de la table permettrai de fixer cette valeur.Code:double k=0.01; double a=0.0438; double b=132.0646; double c=-12.0145; double d=142069.63; double res = -14.91; //Solution: x=52892 double Ya; double Yprime; double Xa=(double)30000; double Xb; for (int compt=0; compt<100; compt++) { Ya=k*( a * pow(Xa,(double)(7./5.)) + b * pow(Xa,(double)(5./7.)) + c * Xa +d) -res; Yprime = a * pow(Xa,(double)(2./5.)) + b * pow(Xa,-(double)(2./7.)) + c; Xb=Xa - (Ya/Yprime)/k ; //fprintf(espion,"Xa=%f Ya=%f Yprime=%f Xb=%f\n",Xa,Ya,Yprime,Xb); if (fabs(Xa-Xb) < 1.e-3) break; Xa=Xb; }
La relation x = (res/k - d)/c donne un résultat satisfaisant.
Je ne vois vraiment pas pour quelle raison le fait que ce ne soit pas un problème théorique ferait que la seconde solution n'en est pas une intéressante. Et il y a effectivement une seconde solution aux alentours de 917662 dans le premier exemple.
On peut d'ailleurs discriminer le nombre de solutions en fonction des paramètres :
Soit la fonction f(z)=z49+u.z35+v.z25+w
On cherche à résoudre f(z)=0
Dans votre cas, on sait que u<0 et v>0, vu que a>0, b>0 et c<0, dans vos exemples.
On a f'(z)=49z48+35u.z34+25v.z24=z24g(z)
avec g(z)=49z24+35u.z10+25v
On a g'(z)=1176z23+350u.z9=z9{1176z14+350u}
Donc g'(z) s'annule en 0 et en une seule valeur positive s (u<0), telle que s14=–25u/84
g'(z)<0 si 0<z<s et g'(z)>0 si z>s
Comme v>0, donc g(0)>0, puis décroît jusqu'à g(s), puis recroît jusqu'à l'infini.
On a g(s)=s10{49s14+35u}+25v=25v+245u.s10/12=25v–k(–u)12/7
avec k=(245/12)(25/84)5/7
Ainsi, selon les valeurs relatives de –u et de v, on aura g(s)>0 ou g(s)<0,
g(s)=0 étant obtenu si v7=K(–u)12, avec K=125.79/224312 sauf erreur de calcul.
Dans le cas où g(s)>0, g est positive, donc f'(z) est positive, donc f est croissante.
Si w<0, il y a donc une unique racine.
Si w>0, il n'y a donc pas de racine.
Dans le cas où g(s)<0, g est d'abord positive, puis négative, puis de nouveau positive.
Donc f est d'abord croissante, puis décroissante, puis recroissante.
Si w<0, il y a une ou trois racines
Si w>0, il y a deux racines ou aucune racine
Bonjour breukin,
Je ne connais pas le phénomène que mesure Fidi, mais je suppose que c'est une relation biunivoque entre x et y.Je ne vois vraiment pas pour quelle raison le fait que ce ne soit pas un problème théorique ferait que la seconde solution n'en est pas une intéressante. Et il y a effectivement une seconde solution aux alentours de 917662 dans le premier exemple.
Ce n'est pas parce que tel nombre est effectivement une racine de l'équation résultat du modèle mathématique concerné que ce pourrait être une solution.
Imaginons pas exemple que X soit une vitesse de rotation d'un moteur à plein régime, ne pensez-vous pas qu'il y a des limites à ne pas dépasser?
Je me rappelle cet exemple : "Un maçon met 35 heures (une semaine) pour construire un mur, combien de temps mettront 35 maçons pour construire un mur identique ?"
Pour résoudre de tels systèmes, autrefois on avait des abaques ou des tables. Maintenant, on a l'informatique, mais malheureusement, j'ai l'impression que les mathématiciens se sont glissés entre deux.
Mais on n'a aucune raison de supposer que ce doit être ou ne pas être bi-univoque !
Surtout si on ne sait pas ce qui est modélisé !
Et il y a des problèmes physiques qui ont plusieurs solutions.
Si, maintenant, on le sait, puisqu'on a eu 3 exemples. Et que :
Mais il s'agit là de discussion théorique, alors que le problème est probablement très concret.Code:Dans ma problématique, ma solution est un réel positif.
D'ailleurs, dans le même ordre d'idée, sur un autre forum, il y a eu une question posée. La spécialité de ce forum était plus l'informatique que les mathématiques. La solution proposée était basée sur un système d'itération, mais un mathématicien a affirmé que dans tous les cas il y avait des solutions algébriques, c'est à dire calculées. On n'a jamais vu cette solution.
Bonjour,
Pour clarifié les débats, ma fonction est physiquement bi-univoque, et x appartient à [0;150000].
Bonjour Fidi,
Avez-vous fait des essais, cela vous convient-il?
En prenant une valeur approchée avec la relation précisée, le nombre d'itérations est une dizaine, avec une précision qui est probablement superflue.
Ce qui est particulièrement intéressant est que la valeur finale est encadrée, c'est à dire que la correction est alternativement positive et négative. Mais rien ne prouve que c'est vrai sur tout l'intervalle.
Dlzlogic,
La relation x = (res/k - d)/c ne semble pas fonctionner.
Je n'ai pas encore eu le temps de tester le code que vous avez rédigé, mais il semble pouvoir donner une solution avec une assez bonne précision (peut-être trop bonne). Bien que cette solution nécessite plus de ressources qu'une simple équation, c'est une solution qui mérite d'être étudiée.
En vous remerciant.
