Equation Polynomiale

[invitebe08d051]

Bonsoir

Depuis quelques heures, je travaille sur l'équation polynomiale suivante:

Trouver tout les polynômes qui vérifient: .

Mais avant que je poste ma réponse, je sais que ce problème a déjà été abordé sur le forum, sur le pdf de Zweig plus précisément pour ceux qui s'en rappelle, et la solution a aussi déjà été mentionné sur le même post, c'est sur cette solution que je voudrais quelques explications, la voici:

Supposons que le polynôme P soit caractérisé par : .

On a alors (1)

Ensuite, il est immédiat que l'identité soit solution, donc , d'où (2)

De (1) et (2), on déduit , soit .

Ainsi, .

Je ne suis pas d'accord pour la troisième ligne:
On sais que l'identité est solution donc ça doit donner par différence:



Qu'en pensez vous ??

Merci
Cordialement
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[invite57a1e779]

Je ne suis pas d'accord pour la troisième ligne

Et tu as bien raison.

[invite402e4a5a]

bonsoir
en fait elle est égal à (P-Id)(P+Id)(x)
non??

[invite9cf21bce]

Qu'en pensez vous ??

Merci
Cordialement

Bonsoir.

Si ça peut apporter quelque chose au schmilblick, un raisonnement qui commence par dire que le polynôme X, qui est n'est pas pair, est solution, et qui termine en disant que toute solution est un polynôme pair, me laisse moi aussi pantois !

Taar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

je suis allé relire le sujet pour vérifier, et on avait à l'époque signalé que le calcul était faux.

j'avais posté une solution, mais pas géniale parce que assez longue (et peut être fausse, j'ai rédigé dans la précipitation) :

 Cliquez pour afficher

Supposons que 0 ne soit pas racine de P, alors, on dérive la relation de base, et on obtient :

En évaluant en 0, on trouve que 0 est racine de .
Ensuite, en divisant la relation par x, et en utilisant la continuité d'un polynôme, on fait tendre vers 0, et on trouve que
Puis, évaluant en 1, on trouve que , puis évaluant en 2, on trouve que
Poursuivant par récurrence une récurrence triviale, P' a ainsi une infinité de racines, il est alors nul, et P est constant, ce qui ne marche pas.
Donc, P s'annule en 0, et alors, une récurrence triviale donne que en une infinité de points, donc, partout.

[invite57a1e779]

Bonjour Thorin,

Je ne comprends pas bien comment tu arrives à .

Je signale que est solution du problème, que en est une autre, et que j'en ai encore bien d'autres en réserve.

[invite9cf21bce]

Bonsoir Thorin.

Euh...

Loin de moi l'idée de critiquer à tout bout de champ, mais P=X²+1 est solution, non ?

Taar.

Zut, grillé à la seconde près par God's Breath...

[invitec317278e]

ah ben effectivement, c'est complètement faux c'était pendant mes écrits, je devais un peu divaguer pendant la soirée, dira-t-on
j'ai prouvé ce que j'avais envie de prouver...

[invite9cf21bce]

ah ben effectivement, c'est complètement faux :S

En fait, non, pas complètement. La partie du raisonnement qui concerne le cas où P(0)=0 est correcte. Le seul polynôme solution P tel que P(0)=0 est bien le polynôme X.

Plus généralement, à P(0) fixé, il existe au plus une solution.

[Flyingsquirrel]

Je pense avoir une solution mais elle est quelque peu tortueuse.

On cherche les polynômes à coefficients réels tels que pour tout , .

Premier résultat : Les solutions du problème sont des polynômes pairs ou impairs.
Preuve :

 Cliquez pour afficher

Soit une solution du problème et un réel. Alors

par conséquent

Si elles existent on note les racines réelles de . Montrer que est pair ou impair revient à montrer que la fonction définie sur par

est constante.

La restriction de à est continue. Comme elle est à valeurs dans elle est constante sur les composantes connexes de c'est-à-dire sur , ,..., (on peut aussi le montrer par l'absurde en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires). Si ne s'annule pas la démonstration est finie. Sinon il reste à montrer que prend la même valeur sur tous les intervalles.

On pose () et l'on note respectivement et les valeurs prises pas sur et (ou si n'existe pas). De (valable pour tout réel ) on déduit que la fonction est de classe . Pour , la dérivée d'ordre de est donnée par

et pour (ou si n'existe pas)

Or doit être dérivable en et les deux dernière égalités montrent que c'est le cas uniquement si . (Si et , est discontinue en . Si et , la courbe de admet des demi-tangentes à droite et à gauche de dont les pentes sont de signes opposés).

On montre de la même manière que prend la même valeur sur que sur et ainsi de suite.

Deuxième résultat : les polynômes de degré supérieur ou égal à 2 qui sont des solutions du problème sont pairs.
Preuve :

 Cliquez pour afficher

En dérivant de chaque côté la relation

(valable pour tout réel ) puis en donnant à la valeur 0 on obtient . On a donc deux possibilités

• Soit et alors admet une infinité de racines : les nombres 0, 0²+1=1, 1²+1=2, 2²+1=5, 5²+1=26... par conséquent .
• Soit ce qui impose car la dérivée de l'identité ne s'annule jamais.

Par conséquent les solutions du problème de degré supérieur ou égal à 2 ne sont pas des polynôme impairs donc, d'après le premier résultat, ce sont des polynômes pairs.

Posons

Résoudre le problème revient à trouver tous les polynômes tels que . Soit une solution de degré supérieur à 2. D'après le deuxième résultat, est pair par conséquent est un polynôme. De plus on vérifie que .
De on déduit . Par conséquent et coïncident sur donc sont égaux. Ainsi est aussi une solution du problème. On montre par une récurrence immédiate que peut s'écrire sous la forme (, apparaissant fois) où est un polynôme solution du problème de degré strictement inférieur à 2 et où est un entier supérieur ou égal à 1. Or le problème n'admet pas de polynôme (réel) constant comme solution et la seule solution de degré 1 est l'identité. Par conséquent et pour un certain . Réciproquement on montre que tous ces polynômes commutent avec pour la composition.

Au final les solutions sont donc les polynômes avec .

[invite57a1e779]

Je pense avoir une solution mais elle est quelque peu tortueuse.

Effectivement. Pour la parité au moins...

Il faut revenir à la différence entre polynôme et fonction polynomiale associée.

L'énoncé
« On cherche les polynômes à coefficients réels tels que pour tout , . »
est en fait, puisque le corps des réels est infini
« On cherche les polynômes , éléments de , tels que . »

On montre facilement que , c'est-à-dire .
Comme l'anneau est intègre, on en déduit immédiatement que l'un des facteurs ou est nul, donc que est pair ou impair.

[invitebe08d051]

Bonjour

Dire que tous ça s'est avéré pour une simple question, je croyais que c'était moi qui faisait faute route.

[invitebe08d051]

Bonjour Thorin,

Je ne comprends pas bien comment tu arrives à .

Moi aussi quand j'avais lu sa solution j'avais pas compris, mais en prenant un bout de papier j'étais convaincu en écrivant:

On a bien pour :



Alors car .

Qu'en pensez vous ?

[invite57a1e779]

Effectivement.

[invitebe08d051]

Mais dans ce cas ou est le problème dans le raisonnement de Thorin, parce que je l'ai refait sans trouver d'erreur.

[invite57a1e779]

En fait, j'ai relu un peu vite le calcul, et j'ai confondu l'hypothèse avec .

On n'a pas mais . On n' a pas , mais .

DLe fait que soit solution suffit à prouver que l'on ne peut déduire de l'hypothèse .
La preuve de Thorin est effectivement fausse.

[invitebe08d051]

Effectivement on a pas

[Flyingsquirrel]

Il faut revenir à la différence entre polynôme et fonction polynomiale associée.

Oui, c'est bien plus simple ainsi.

On montre facilement que ...

Il faut bien sûr lire « ».