racines évidentes pour une équation polynômiale

[invited3d0d2c2]

Je viens de découvrir une technique (par le biais d'un professeur de mathématique qui est un ami de mes parents...) pour limiter la recherche des racines évidentes pour une équation polynômiale.

Prenons par exemple l'équation à résoudre : x^3-x^2-8x+12 = 0 .Si on ne nous donne pas d'indice, on essaye un peu à l'aveuglette : 1,-1,2,-2,3,-3 .... et puis au delà de 5 , on renonce vite!
Et bien, s'il y a une racine évidente "entière" , elle est nécessairement diviseur du terme constant : 12 .Donc essayons 1,-1,2,-2,3,-3 . Il ne peut pas y en avoir d'autre.
Ici : x = 2 et x = -3 marchent, donc on peut factoriser (x-2)(x+3) , après c'est évident. Mais je dois prouver pourquoi ça marche. Et là, je sèche...

Merci de vos aides!
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[invite890931c6]

exercice de spé, je vais essayer de te retrouver ça !

[invite890931c6]

exercice 96 page 28 livre collection Math'x terminale S spécialité maths. voici l'énoncé (ce qui te donne une idée de ce que l'on fait en spé, c'est succin je te l'accorde) :

On considère u polynôme P à coefficients entiers relatifs :



1) montrer que toute racine entière de , non nulle, divise .

[invite890931c6]

si tu as besoin d'aide n'hésite pas. Pour indication le titre du chapitre est diviseurs, multiples.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Il faut bien préciser que tous les coefficients sont entiers,c 'est faux sinon.

Pour la preuve, il suffit d'écrire :
soit x une racine entière du polynôme, alors :
, donc :

or, est un entier...

[invited3d0d2c2]

Merci! Je vais cherché! (je ne fais pas spé mais ça ne doit pas etre extremement dur)

[invited3d0d2c2]

Bonsoir,
je vais demander des indices, je ne trouve vraiment pas... :s
Merci

[sylvainc2]

C'est le théorème des racines rationnelles (je ne suis pas sur que ca s'appelle comme ca officiellement mais bon). Voir par exemple:

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~...49/node27.html