Bonjour, on considere la suite de polynomes Pn definie par P1=X-2 et Pn+1=Pn²-2. Calculer le coefficient de X² dans Pn.
Je pense etre sur la bonne voie en travaillant avec le développement de Taylor en Zero. Mais je n'arrive pas a trouver de récurrence simple entre les coeffients de X² de Pn et Pn+1...
Tu peux peut etre dériver deux fois ta relation de récurrence ?
Si tu écrivais les 3 ou 4 premiers polynômes, quelque chose te sauterait aux yeux.
Non justement !Envoyé par Jeanpaul
Dans la suite desil est clair que seuls les coefficients de degré <= 2 sont à prendre en compte, c'est à dire que le coefficient en X et X² de la suite
sont identiques aux coefficient en X et X² de
Remarque si un polynôme est de la forme aX² + bX + 2, il en est de même pour (aX² + bX + 2)² - 2 (restreint aux degré < 3) , c'est donc le cas de tous les
Si
Il te reste à étudier les deux suites définies par
Sauf erreur de calcul
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ce qui saute aux yeux et que Mediat souligne bien, c'est le terme en X.
Dès lors il est assez simple en calculant la dérivée seconde en zéro de déduire la récurrence sur le terme en X² (ce qu'obtient Mediat par un autre moyen).
Oui c'était ma méthode. De la relation de récurrence, on tire par dérivation :
P'n+1=2PnP'n
et
P"n+1=2P'²n+2PnP"n
En prenant la valeur de la dérivée en 0, on voit que le coefficient en X est une suite géométrique, et on trouve la relation de récurrence du coefficient en X².
Je bloque a ce moment, je ne trouve rien de simple. Mais je me suis peut etre trompé avant :
je trouve Pn(0)=2 et Pn'(0)=-2^(2n-2)
Avec ces valeurs, quand je remplace dans relation de récurrence du début, ca donne des choses assez hard...
Oui d'où les coefficients constants et de X
Indice : avec une mise en facteur adéquate, on exhibe le coefficients de X² comme le produit du terme d'une suite géométrique et de la somme des termes d'une autre suite géométrique. Ensuite, classique une fois que l'on a une formule à proposer on la montre (et on la vérifie) via la formule de récurrence (il vaut mieux garder la somme sous forme de somme à ce niveau) ; puis on exprime la somme en une formule plus contractée et directe.
