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DM de BCPST sur l'étude d'une suite solution d'une fonction polynomiale Pn



  1. #1
    Hikari-sora

    DM de BCPST sur l'étude d'une suite solution d'une fonction polynomiale Pn


    ------

    Bonsoir, tout le monde...
    Voila, en fait, je suis en BCPST première année, et je bloque depuis quelque temps sur le DM que le prof nous as donné...
    Il s'agit tout d'abord de l'étude d'une fonction polynomiale Pn(x) = x^n + x^(n-1)+...+ x-1.
    Tout d'abord, on nous demande, en étudiant les variations de Pn, de montrer que l'équation Pn(x)=0 n'admet qu'une solution dans l'intervalle [0;1].
    Pour cela, j'ai dérivé la fonction (bien sur!) et je l'ai écrise sous la forme:
    P'n(x)= (somme pour k variant de 0 jusqu'à n de ) (n-k)*x^(n-k-1).
    Cette dérivée est positive (enfin, je l'ai prouvé pour x>=0, du moins!) donc, j'ai répondu assez facilement a la première question/
    Cette solution est une suite notée alpha n.
    Mais a partir de la deuxième question on nous demande de montrer que Pn(alpha n+1)<=0 pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels privés de 0...
    Le reste, je pense que j'y arriverais, mais celle la, je ne sais vraiment pas comment faire! (d'autant plus que la fonction Pn est croissante...)
    Est ce que quelqu'un pourrait me donner une piste, un indice, s'il vous plait?
    Le pire c'est qu'il m'avait l'air simple, a première vue, cet exercice...

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : DM de BCPST sur l'étude d'une suite solution d'une fonction polynomiale Pn

    Intéresse-toi à la différence des polynômes Pn+1 - Pn, à son signe surtout.
    Que se passe-t-il en alpha(n+1) ?

  4. #3
    Hikari-sora

    Re : DM de BCPST sur l'étude d'une suite solution d'une fonction polynomiale Pn

    ^^ Merci d'avoir répondu aussi vite, pour Pn+1 - Pn, je trouve x^(n+1)...
    Mais en fait, il y a quelque chose que je ne comprends pas. Normalement, le signe de x^(n+1) dépend de si (n+1) est pair ou impair, quand x est négatif... Cela voudrait dire que quand x est négatif, Pn prend différents sens de variations sur ce même intervalle...
    Mais quand je tape la fonction dans ma calculatrice, je vois que Pn est toujours croissante! (en prenant différents exemples, comme n=5, ou encore...)
    ET si je ne considere que le cas ou x est positif ça marche pas non plus, ça voudrait dire que Pn (alpha n+1) est positif, et pas négatif?
    Je comprends pas...

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : DM de BCPST sur l'étude d'une suite solution d'une fonction polynomiale Pn

    Tu as juste oublié que x était compris entre 0 et 1, donc cette discussion sur le signe de x est totalement superflue.

  6. #5
    Hikari-sora

    Re : DM de BCPST sur l'étude d'une suite solution d'une fonction polynomiale Pn

    ...ok, en effet. Désolée! Donc, pour Pn+1(alpha n+1)-Pn(alpha n+1)= (alpha n+1)^(n+1), on remarque que Pn+1(alpha n+1)=0, du coup Pn(alpha n+1) est négatif!
    Merci!!!
    Je marche seul sur la route des promesses oubliées...

  7. A voir en vidéo sur Futura

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