Fin et Cofin d'un bifoncteur.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Sur la page suivante, https://fr.wikipedia.org/wiki/Fin_(t...t%C3%A9gories) , on définit la notion de fin et cofin d'un bifoncteur.
Est ce que vous avez des exemples concrets à me proposer sur ces deux notions ?

Merci d'avance.
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[Alkatbert]

https://www.numdam.org/item/RSMUP_1975__54__271_0.pdf

[Anonyme007]

Bonsoir,

Merci pour ton document Alkatbert.
Pouvez vous s'il vous plaît m'expliquer les deux formules suivantes :

- .

- .

Merci d'avance.

[Alkatbert]

Bonjour anonyme007, voilà une brève réponse :

1. Décomposition de :

- Chaque fibre porte l'action de et son dual.
- Généralise la décomposition en fréquences de Fourier.

2. Décomposition de :

- Chaque fibre est une algèbre d'opérateurs "localement compacts", capturant la décroissance spectrale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alkatbert]

Ces isomorphismes transforment :
- La convolution sur en multiplication fibre par fibre dans l'espace dual .
- L'étude des opérateurs sur en analyse spectrale sur .

[Alkatbert]

Explication des objets pour la première formule :

- : Le dual tempéré de , c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalence de représentations unitaires irréductibles tempérées de .
- Pourquoi "tempérées" ? Parce que Ces représentations sont celles qui contribuent à la décomposition de (analogue aux caractères dans le cas commutatif).
- : La mesure de Plancherel, généralisant la mesure de Lebesgue sur dans le cas abélien. Elle est unique et déterminée par la structure harmonique de .
- : L'espace de Hilbert de la représentation .
- : L'espace dual de (isomorphe à via le produit scalaire).
- : S'identifie naturellement à l'espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt sur , noté .

[Alkatbert]

Explication des objets de la formule 2 :

- : L'algèbre réduite de , définie comme la clôture de l'algèbre de convolution agissant sur par représentation régulière gauche.
- : L'algèbre des opérateurs compacts sur .
- : Même mesure de Plancherel que pour , car les spectres irréductibles sont identiques.

[Anonyme007]

Merci Alkatbert.
Mais, que signifie, par définition,
- .
et,
- .
avant de passer à la démonstration.
Je n'ai même pas réussi à comprendre le sens de ces deux formules.
Merci pour votre aide.

[Alkatbert]

J'avoue que je ne suis pas un bon pédagogue le plus simplement possible est par analogie aux transformées de fourrier la fréquence est remplacée par les représentations irréductibles π de G.

La deuxième formule agit comme une convolution fibre à fibre de ces mêmes π.

Pour finir avec humour excusez moi l'aversion à trop démontrer je suis un "Conjecturologue"

[Anonyme007]

D'accord. Pas de problème Alkatbert.
Si on part d'exemples plus terre à terre.
- Pourquoi, ?
- Pourquoi, ?
Qu'est ce que la décomposition de Plancherel ?
Merci d'avance.

[Alkatbert]

La transformée de Fourrier est juste une analogie pour aider à avoir une image de ces formules.

[Alkatbert]

Là nous sommes dans des cas non commutatifs.

[Anonyme007]

D'accord. Merci.
Pour, , on utilise la décomposition de Plancherel tu voudrais dire ?
,
et, est telle que, . Non ?

[Alkatbert]

Oui mais en introduisant ça clashe un peu, Cher Anonyme007, en effet :

- Le symbole évoque une intégrale directe (théorie spectrale avancée), mais :
- Pour , la décomposition de Plancherel n'est pas .
- Elle équivaut plutôt à :
est le groupe dual, isomorphe à
- Concrètement : La transformée de Fourier paramétrise par les fréquences , chaque étant une coordonnée dans .