intérieur : topologie produit
bonjour
En travaillant sur la topologie des espaces produits, je me pose une question sur la formule de l'intérieur.
Je cherche à déterminer la formule générale pour l'intérieur :
Pourriez-vous me donner l'énoncé exact et complet de ce résultat ?
Si vous pouviez également me donner une référence (un livre classique de topologie ou un cours universitaire fiable) où je peux trouver cette ''proposition'' et sa démonstration , c'est mieux.
merci d'avance
Dernière modification par Abdellah7 ; 17/06/2025 à 12h54.
bonjour, tu as peut-être fait une erreur en recopiant la formule, mais elle n'a pas vraiment de sens.
Bonjour,
Deux questions :
Qui sont les? Intérieur dans quoi ?
voilà une proposition je veux savoir est ce que c'est vrai ?
#2 et #3 pardon , j'ai pas détaillé ma question vous trouverez ici le contexte
Dernière modification par Abdellah7 ; 17/06/2025 à 18h19.
Bonjour,
D'où vient ce texte? Sous réserve d'avoir bien compris vos notations, il me semble faux.
Par exemple, si les Ai sont des segment du style [-1,1] dans Ri ils sont tous différents de Ri, et le produit infini a bien un intérieur non vide donné par le produit des intérieurs de chaque Ai (les ouverts ]-1,1[.
Ce qui est vrai par contre est qu'on ne peut pas conclure en général que cet intérieur soit non vide. un exemple serait avec des ouverts de type ]-1/i,1/i[ dans Ri
Dernière modification par Resartus ; 17/06/2025 à 23h06.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
#5
Mais le produit de ]-1,1[ Infini n'est pas ouvert de la topologie produit
bonjour, je crois que le point difficile à démontrer est le cas infini. Je peux imaginer une démonstration dans un cas particulier où I est dénombrable et où on peut caractériser une partie fermée par le fait qu'elle contient les limites des suites (mais si je me souviens bien ça n'est valable que si l'espace est métrisable).
supposons qu'on ait des espaces En et E = produit des En. On se donne des parties An, chacune distincte de En et on veut montrer que le produit des An n'est pas ouvert dans le produit de En. Pour un entier n je considère l'élément x(n), de l'espace produit , où la k-ième coordonnée x(n)(k) est dans le complémentaire de Ak, les autres étant le Ai correspondant. Ainsi x(n) n'est pas dans le produit des Ai. Mais la limite des x(n) est bien dans ce produit, de sorte que son complémentaire n'est pas fermé et donc qu'il n'est pas ouvert.
Dernière modification par MissJenny ; 18/06/2025 à 07h40.
j'ajoute que la restriction à I dénombrable n'est peut-être pas un problème, vu qu'un ensemble infini contient toujours un sou-ensemble dénombrable. Mais l'usage des suite en est un et le cas général reste à faire.
Bonjour Abdellah7.
Je suis surpris moi aussi par ce résultat, car si on prend pour tout i
Note que je n'ai même pas utilisé la définition de la topologie produit. Juste le fait que si l'espace est un ouvert, vrai pour toute topologie.
Cordialement.
#9 bonjour gg0
je ne sais pas où est la contradiction, si pour tout Ai = Xi on est dans le cas 1 : {i dans I / Xi différent de Ai } est fini donc l'intérieur de A=X est le produit des intérieurs des Xi , or intérieur de chaque Xi est lui même, alors l'intérieur de A=X est le produit des intérieurs des Xi c'est à dire X lui-même.
Ah oui, j'ai raisonné à l'envers. Désolé.
Finalement, ce théorème est assez naturel, puisque le cas 1 correspond à la définition des ouverts de base. Mais le cas 2 n'est pas si évident que cela quand on sait la difficulté de définir tous les ouverts à partir d'une base topologique. Pourquoi l'intérieur cherché ne serait pas une réunion infinie d'ouverts de base ?
Wikipédia donne comme référence le "Topologie générale" de Jacques Dixmier.
Cordialement.
Bonjour,
Une base d'ouverts de la topologie produit est formée des
Ah, j'ai fini par comprendre !
Sipour une infinité de
,
ne peut contenir aucun ouvert de base, donc aucun ouvert non vide. Lumineux !
Comme quoi, parfois les choses sont claires, une fois dites.
Cordialement.
euh... c'est un peu plus compliqué que cela. Les ouverts de la topologie produit ne contiennent pas nécessairement un cylindre.
Ben non, ce n'est pas plus compliqué que ça !
Bonjour MissJenny.
Dans une topologie à base d'ouvert, les ouverts non vides sont formés par réunion d'éléments de la base. Par exemple l'ensemble des intervalles réels ]a,b[ pour deux réels a<b est une base de la topologie habituelle de R. x est dans un ouvert O s'il existe a et b dans O tels que a<x<b.
Cordialement.
ok merci. Je viens de comprendre mon erreur : je pensais que les ouverts étaient des réunions d'intersections finies d'ouverts de la base. Mais je réalise que de toutes manières puisque le produit est infini les intersections finies de cylindres sont encore des cylindres.
Et moi je n'avais pas réalisé que pour qu'une réunion de cylindres forme un ouvert, il faut que chacun d'eux soit inclus dans l'ouvert !!
Cordialement.
