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Topologie : Adhérence, intérieur et frontière



  1. #1
    elotwist

    Topologie : Adhérence, intérieur et frontière


    ------

    A= {(x,y) appartenant à R² tels que x²+y² < ou = 2}\{(x,y)£R² tels que (x-1)² + y² < 1}

    Je dois trouver l'adhérence la frontière et l'intérieur de A.

    Je ne maîtrise pas encore très bien c'est notion... Pouvez-vous s'il vous plaît m'aider à bien comprendre ces notions ?

    Dans cet exemple, l'intérieur de A pour moi c'est :{(x,y) £ R² tels que x²+y²< 2}
    L'adhérence c'est : {(x,y) appartenant à R² tels que x²+y² <ou = 2}
    La frontière c'est {2}

    Merci pour votre aide !

    Elotwist

    -----

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  3. #2
    Scorp

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Cool, un peu de topologie. Nan, en fait j'ai horreur de ca, mais on peut quand même rappeler les définitions :
    - adhérence : xE est adhérent à A inclus dans E si pour l'intersection de la boule B(x,r) et de A est différent du vide.
    - intérieur : x est intérieur à A si "A est voisinage de x", c'est-à-dire s'il existe un r>0 tel que la boule B(x,r) est inclus dans A
    - je n'utilise pas trop le terme de frontière, et j'en n'est pas une définition exacte. Intuitivement, je dirais que c'est A privé de l'intérieur de A, non ?

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Salut,

    ton intuition dit faux

    La frontière de A c'est l'adhérence privée de l'intérieur. C'est équivalent à dire que c'est l'ensemble des points adhérents à A et au complémentaire de A
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    Scorp

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Salut,

    ton intuition dit faux

    La frontière de A c'est l'adhérence privée de l'intérieur. C'est équivalent à dire que c'est l'ensemble des points adhérents à A et au complémentaire de A
    Oops. En même temps, j'avais prévenu que c'était pas ma tasse de thé. Sinon elotwist, est ce que tu as essayé de dessiner ton ensemble histoire de voir un peu ce que ca donne parce que dans la réponse que tu donne, j'ai pas l'impression que tu es pris en compte le fait que A est un ensembe composé de B privé de C [(x-1)² + y² < 1 n'apparait pas dans ta réponse]. J'espère que je ne suis pas encore en train de raconter des bétises la au moins

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doudache

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Salut !

    Commence par faire un dessin et tu verras mieux les choses. Pour de la topologie dans R ou R^2 c'est souvent pratique de se representer les objets.

    Ici, l'interieur sera l'ensemble des points a partir desquels tu restes dans ton ensemble meme si tu bouges un peu tout autour.

    Un exemple un peu plus simple est celui du disque : l'interieur c'est le disque sans le cercle qui le defini, l'adherence c'est le disque compte avec le cercle, et la frontiere c'est ce meme cercle.

  8. #6
    Scorp

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Citation Envoyé par elotwist Voir le message
    La frontière c'est {2}
    Je ne comprend pas cette réponse : Comme la frontière pourrait-elle être un singleton de R. Il faudrait que ca soit au moins dans R².

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  10. #7
    Airy

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Bonjours,

    Voila mes propositions:

    Exprime A comme une union ou une intersection d'ensemble.

    Ici, c'est une intersection.

    Il y a des formules pour exprimer l'adhérence et l'intérieur d'une union (ou d'une intersection).

    L'idée du dessin (surtout dans IR ^2) est bien pour vérifier, mais il faut être aussi capable de faire cet exo sans dessin.

    p.s. comme utilise t-on les commandes latex?

    Merci d'avance.

    Airy.

  11. #8
    Scorp

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Je ne connais pas les formules dont tu parles (je n'ai fait que très peu de topologie). Je pose et . Je pense que pour l'intérieur, on doit avoir et .
    Mais est ce qu'on a aussi (mon intuition est souvent mauvaise pour l'adhérence ) pour l'adhérnce les formules suivantes :
    et

    P.S: pour le TEX, il suffit d'utiliser les 2 balises mises à cette effet. Pour le reste, va voir ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C...a:Formules_TeX

  12. #9
    Airy

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Soient U et V 2 ensembles:

    \ = .

    On a donc .

    Une intersection de fermés étant fermé, A est égale à son adhérence.

    Sinon, ta formule est fausse pour les fermés (essaie de voir pourquoi).

    Elle est vraie pour les ouverts (là encore, c'est un bon exos pour ceux qui débutent la topologie).

    On a donc int(A) = .

    Comme il a déjà été dit sur ce fil, la frontière est l'adhérence privé de l'intérieur.

    Là encore, je vais utiliser la formule \ = .

    La frontière de A est donc

    ,

    Soit ,

    Puis .

    J'ai utilisé la formule suivante :

    = , puis la propriété selon laquelle, l'intersection est distributive par rapport à la réunion.

    Sauf erreurs.

    p.s. merci, en fait, je n'avais pas de balises latex.

  13. #10
    romaissa

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Citation Envoyé par Scorp Voir le message
    Je ne comprend pas cette réponse : Comme la frontière pourrait-elle être un singleton de R. Il faudrait que ca soit au moins dans R².
    Bonjour,
    bonne remarque scorp
    la frontière est ( (x,y) appart à R², tq x*2+y*2=2 ),
    mé ps le singleton.
    Cordialement

  14. #11
    romaissa

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    Citation Envoyé par Scorp Voir le message
    Je ne comprend pas cette réponse : Comme la frontière pourrait-elle être un singleton de R. Il faudrait que ca soit au moins dans R².
    Bonjour,
    bonne remarque scorp
    la frontière est ( (x,y) appart à R², tq x*2+y*2=2 ),
    mé ps le singleton.
    Cordialement

  15. #12
    romaissa

    Re : Topologie : Adhérence, intérieur et frontière

    rebonjour,
    je ne sais pas ?
    j'ai voulu faire des modifications et ...?
    pardon elotwist

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