Topologie : intérieur et adhérence

[invitedbe5e39e]

Bonjour
J'ai une distance d définie de R²xR² dans R+ (R désignant l'espace des réels) par d(x,y)=|x1-y1| + |x2-y2|
x=(x1,x2) et y=(y1,y2).

J'ai ensuite une partie A= {(x, sin(1/x)), x>0 }.

Comment faire pour trouver l'adhérence de A dans (R², d) ? J'arrive à comprendre comment faire quand la distance est sur R, mais quand elle est sur R², je ne sais vraiment pas comment m'y prendre !
Je cherche l'ensemble dans lequel se trouve x pour que l'inégalité |x1-y1| + |x2-y2|<= r soit vérifiée (si r est un réel) pour trouver une boule fermée, mais sur A je ne vois vraiment pas comment faire !! On ne l'a pour l'instant fait sur sur R !
Pourriez-vous me donner une piste svp ?

Merci
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[invite769a1844]

Bonjour,

les points adhérents à peuvent être caractérisés séquentiellement par le fait qu'ils sont limite dans , d'une suite de points de .

Si , on utilise la continuité de pour voir ce que vaut .

Lorsque c'est un peu plus difficile. Comme est un fermé qui contient , on a , et donc .
Reste à voir quelles valeurs de peut prendre lorsque .