Je répète à nouveau avoir choisi une police de taille moyenne (4 sur 7) pour les forumeurs n’ayant pas forcément une vue aussi excellente que la mienne ! Ce n’est donc pas forcément de la parano, comme quelqu’un l’a suggéré.
Comme vous le savez ou pas, le modérateur a clôturé mon sujet "L’infini selon Cantor : critiques et propositions", après avoir supprimé plusieurs messages insultants : parano, idiot, imbécile… Certains ont manifestement Cantor pour idole et ne supportent pas la moindre critique à son encontre ! Entre nous je suis blindé pour les insultes. Vous pouvez donc y aller à fond ! Pour produire un effet comique, je suggère toutefois de les chercher dans le répertoire du capitaine Haddock (sur Internet) : bougre de faux jeton à la sauce tartare, concentré de moule à gaufre, cornichon diplômé, espèce d’analphabète diplômé, etc.
Je m’aperçois par ailleurs que personne n’est capable de lire 32 pages sur un écran, même à raison d’une seule page chaque jour ! C’est regrettable, surtout avec ce sujet très intéressant, mais il faut bien le constater. Je vous propose donc ici un jeu très amusant de questions et réponse sur le problème de l’infini, suivant les 7 chapitres de mon essai : https://www.aht.li/***/INFINI.pdf
Avant d’y venir, je vais toutefois rappeler quatre critiques faites dans le sujet précédent et mes réponses. Je suis quelqu’un sérieux et ce forum a aussi pour vocation d’être sérieux. Ne manquez donc pas cette occasion unique de passer à la postérité en faisant avancer la recherche scientifique !
1) Un forumeur n’ayant lu que mon message initial, comme il l’a dit honnêtement lui-même, a affirmé que les sous-ensembles et ensembles de Cantor impliquent logiquement des nombres infinis plus ou moins grands. Pas forcément ! Les nombres entiers sont par exemple un sous-ensemble des nombres rationnels, mais leur nombre infini n’est pas inférieur pour autant d’après Cantor lui-même : voir mon essai, page 11. Les sous-ensembles et les ensembles se prêtent par ailleurs malaisément aux comparaisons numériques (voir page 9).
2) Pour un autre forumeur, je conçois les nombres réels comme une catégorie séparée. Je l’ai invité à lire attentivement ma section 2-1, en particulier les pages 6-7. Il y est exposé très clairement que les entiers sont un sous-ensemble des rationnels, eux-mêmes sous-ensemble des algébriques, eux-mêmes sous-ensemble des réels. Et il est aussi indiqué que les réels comprennent les transcendants, en plus des algébriques. Je ne sais pas trop quoi penser des gens qui se permettent des commentaires sur un texte dont ils n’ont pas lu une seule page ! Est-ce de la paranoïa, de la confusion mentale, de la mauvaise foi, autre chose encore ? Je m’interroge…
3) Pour un troisième forumeur, il est impossible de rétablir l’équipotence des entiers naturels et des nombres réels en décalant ceux-ci pour faire une place aux réels découverts par la méthode des diagonales. En effet, la liste des réels serait exhaustive et bloquée. Cela contredit totalement notre héros Cantor, pour qui une liste exhaustive des nombres réels est impossible car ils sont indénombrables, autrement dit ne peuvent être énumérés sans omissions ni répétitions !
4) En supposant même que la liste des réels soit exhaustive et bloquée, cela signifierait alors que les réels découverts par les diagonales seraient des doublons. Je ne vois pas comment ces doublons prouveraient que le nombre infini des réels est supérieur à celui des entiers naturels ! Il serait d’ailleurs facile de créer aussi des doublons pour les entiers naturels !
Je signale par ailleurs que l’argument diagonal a été examiné par le logicien et mathématicien Ludwig Wittgenstein, qui le juge complètement inapte à démontrer l’infinité supérieure des nombres réels par rapport aux entiers naturels. Je ne connais pas son analyse, mais il est très facile de le prouver (pages 13-14 de mon texte) ! On se demande aussi si ce n’est pas cet argument qui a fait considérer Cantor comme un charlatan par le mathématicien Kronecker. Ce qualificatif "charlatan" est pour moi excessif car il est tout à fait possible de séparer la théorie des ensembles (valable) des infinis en nombre infini (non démontrés) !
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
J’en viens maintenant à la première question de ce sujet, issue du chapitre 1 de l’essai signalé (pages 2-4) : https://www.aht.li/***/INFINI.pdf – Comme vous le savez peut-être, la conception traditionnelle de l’infini est qu’il s’agit d’une quantité sans cesse croissante mais toujours finie à un moment donné : infini potentiel. Mais pour Cantor, l’infini est un nombre comme un autre : infini actuel. Il existerait même une infinité de nombres infinis, ce que ne démontre pas son argument diagonal ni le système auquel il aboutit (pages 12-16).
Quelle est la bonne approche de l’infini selon vous : potentielle ou actuelle ? Vous pouvez aussi considérer que cela dépend de ce que l’on veut démontrer. Dans tous les cas, ne cherchez pas la réponse sur Internet ou ailleurs ! Il est beaucoup plus intéressant de réfléchir par soi-même car les résultats obtenus sont alors souvent originaux et intéressants. Cela permet aussi d’exercer ses petites cellules grises !
-----