Nouvelle version probabiliste du théorème des accroissements finis.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Je viens de découvrir et de montrer une version probabiliste du théorème des accroissements finis et du théorème de Rolle qui se trouvent en théorie de l'Analyse. Voici l'énoncé,

Théorème des accroissements finis :

Soit une fonction continue et dérivable sur .
Soit, un processus aléatoire sur un espace probabilisé quelconque.
Alors, .

Théorème de Rolle :

Soit une fonction continue et dérivable sur .
Soit, un processus aléatoire sur un espace probabilisé quelconque, tel que, , avec, .

Alors, il existe au moins un réel, , tel que, .

Est ce que ces deux nouveaux théorèmes peuvent-t-ils avoir des applications notables en théories des probabilités ?

Merci d'avance.
-----

[Alkatbert]

Belle intuition utilise plus le lemme d'îto et les inégalités de Martingales cela peut mieux vous orienter vers plus de résultats que le théorème de Rolle à mon avis

[MissJenny]

je ne comprends pas bien le premier théorème mais pour le second je vois un contre-exemple. Si Xt0 = Xt1 p.s. on a f(Xt0) = f(Xt1) p.s. et on ne peut rien en conclure (la dérivée fe f peut ne s'annuler nulle-part par exemple).

[Anonyme007]

Merci Alkatbert pour tes conseils.
@MissJenny,
Oui, tu as raison, au lieu de dériver seulement, il faut dériver la composée de et , or, je n'ai jamais vu de ma vie une notion de dérivation pour une variable aléatoire ou un processus aléatoire. Tu les connais toi ? Je sais écrire un processus aléatoire sous forme différentielle, mais jamais sous forme d'une dérivation. Je ne sais pas la différence.

[A voir en vidéo sur Futura]