bon voila , mon problème est un exercice de mathématique sur le théorème accroissement finis ..le voiciémontrer en utilisant le théoréme des acroissement finis que pour tout 0<x<1 on a :
x < exp(x)-cosx < 4x
je pense que ma question est claire
et Merci !
As tu essayé de l'appliquer à la fonction f(x)=exp(x)-cos(x) ?
oui j'ai essayé
Alors, comment s'écrit f(x) - f(0) en employant le théorème des accroissements finis ?
Bon voila ce que j'ai fait :
f(x)=exp(x)-cosx
f'(x)=exp(x)+sinx
f"(x)=exp(x)+cosx
proposons une fonction g(x)=f'(x)=exp(x)+sinx sa dérivée
g'(x)=exp(x)+cosx
étude de la variation de g:
exp(x) est strictement positive pour chaque x de R(+*) donc c'est valable pour chaque x de [0,1].
sur [0,1] cosx est décroissante donc cos1<cosx<cos0 0.54<cosx<1 donc cosx est strictement positive sur [0,1]
conclusion : exp(x)+cosx>0 ce qui implique g(x) est croissante
donc: g(0)<g(x)<g(1) c à d : 1<f'(x)<3.55
alors:
sur l'intervalle [x,1]: exp(x)-cosx-exp(1)+cos1 < 3.55(x-1)
exp(x)-cosx <3.55x-3.55+2.17
exp(x)-cosx<3.55x-1.38
or 3.55x-1.38-4x=-(045x+1.38)<0 puisque x appartient a [0,1]
donc exp(x)-cosx < 3.55x-1.38 <4x (EgalitéA)
sur l'intervalle [0,1]: exp(x)-cosx-exp(0)+cos0>1(x-0)
exp(x)-cosx >x EgalitéB
{cos0-exp(0)=1-1=0}
Conclusion:
à partir de L'EgalitéA et L'EgalitéB on peut conclure que :
x<exp(x)-cosx<4x
est ce que c'est correcte.
Bon voila ce que j'ai fait :
f(x)=exp(x)-cosx
f'(x)=exp(x)+sinx
f"(x)=exp(x)+cosx
proposons une fonction g(x)=f'(x)=exp(x)+sinx sa dérivée
g'(x)=exp(x)+cosx
étude de la variation de g:
exp(x) est strictement positive pour chaque x de R(+*) donc c'est valable pour chaque x de [0,1].
sur [0,1] cosx est décroissante donc cos1<cosx<cos0 0.54<cosx<1 donc cosx est strictement positive sur [0,1]
conclusion : exp(x)+cosx>0 ce qui implique g(x) est croissante
donc: g(0)<g(x)<g(1) c à d : 1<f'(x)<3.55
alors:
sur l'intervalle [x,1]: exp(x)-cosx-exp(1)+cos1 < 3.55(x-1)
exp(x)-cosx <3.55x-3.55+2.17
exp(x)-cosx<3.55x-1.38
or 3.55x-1.38-4x=-(045x+1.38)<0 puisque x appartient a [0,1]
donc exp(x)-cosx < 3.55x-1.38 <4x (EgalitéA)
sur l'intervalle [0,1]: exp(x)-cosx-exp(0)+cos0>1(x-0)
exp(x)-cosx >x EgalitéB
{cos0-exp(0)=1-1=0}
Conclusion:
à partir de L'EgalitéA et L'EgalitéB on peut conclure que :
x<exp(x)-cosx<4x
est ce que c'est correcte.
répondez vite svp !
As-tu essayé de répondre à cette question ?Envoyé par Jeanpaul
Il faudrait montrer que tu tiens compte des réponses qui te sont données...
tu ne connais pas ton cours jeune homme...
est ce que ce que j'ai donné est correct ou bien non ...
God's Breath
bon voila : f(x)-f(0)>m(x-0)
Que sais-tu sur m ?
|f'(x)| > m
m est la valeur minimale de f'(x)
tjrs pas de réponse
C'est évident , car tu dois tenir compte des réponses qu'on t'a déjà donné , relis le message #4 de Jeanpaul .
J'ai relu le message et j'ai répondu...
maintenant est ce que vous pouvez répondre
Re : Théorème des accroissements finis
comme vous voulez ........
En faite , tu n'as pas besoin de tout ça pour résoudre cette exercice , ce qui reflète le faite que tu ne donne aucune importance au réponses qu'on t'a fournis , revois le message #4 de Jeanpaul , et regarde si tu as une question à poser à propos de sa réponse .
Si tu y réfléchis un peu , on peut bien utiliser le TAF dans l'intervalle [0,x] !!
Et bien sur avec 0 < x < 1 !
bon il parait que la méthode suivante n'est pas correcte.
f(x) - f(0)=(x-0)f'(c)f(x)=exp(x)-cosx
f'(x)=exp(x)+sinx
f"(x)=exp(x)+cosx
proposons une fonction g(x)=f'(x)=exp(x)+sinx sa dérivée
g'(x)=exp(x)+cosx
étude de la variation de g:
exp(x) est strictement positive pour chaque x de R(+*) donc c'est valable pour chaque x de [0,1].
sur [0,1] cosx est décroissante donc cos1<cosx<cos0 0.54<cosx<1 donc cosx est strictement positive sur [0,1]
conclusion : exp(x)+cosx>0 ce qui implique g(x) est croissante
donc: g(0)<g(x)<g(1) c à d : 1<f'(x)<3.55
alors:
sur l'intervalle [x,1]: exp(x)-cosx-exp(1)+cos1 < 3.55(x-1)
exp(x)-cosx <3.55x-3.55+2.17
exp(x)-cosx<3.55x-1.38
or 3.55x-1.38-4x=-(045x+1.38)<0 puisque x appartient a [0,1]
donc exp(x)-cosx < 3.55x-1.38 <4x (inEgalitéA)
sur l'intervalle [0,1]: exp(x)-cosx-exp(0)+cos0>1(x-0)
exp(x)-cosx >x inEgalitéB
{cos0-exp(0)=1-1=0}
Conclusion:
à partir de L'inEgalitéA et L'inEgalitéB on peut conclure que :
x<exp(x)-cosx<4x
Oui, et il te faut donc prouver que.
On applique le T.A.F sur l'intervalle [0,x] avec 0 < x < 1 et
Tu continues ..
la fonction g(x)=f'(x) est croissante donc f'(0) <f'(c)<f'(1)
c à d : 1<f'(c)<3.55<4
Remarque : 0 < c < x < 1 !!
Tu ajoute ça à la réponse de God's Breath . Il ne te reste plus grand chose à faire !
....................
De façon plus simple :
En faisant la somme :
D'où :
Et c'est vraisemblablement la solution attendue...
Merci !
mais il me reste une question est ce que:
n'est pas correcte ou bien c'est compliqué.f(x)=exp(x)-cosx
f'(x)=exp(x)+sinx
f"(x)=exp(x)+cosx
proposons une fonction g(x)=f'(x)=exp(x)+sinx sa dérivée
g'(x)=exp(x)+cosx
étude de la variation de g:
exp(x) est strictement positive pour chaque x de R(+*) donc c'est valable pour chaque x de [0,1].
sur [0,1] cosx est décroissante donc cos1<cosx<cos0 0.54<cosx<1 donc cosx est strictement positive sur [0,1]
conclusion : exp(x)+cosx>0 ce qui implique g(x) est croissante
donc: g(0)<g(x)<g(1) c à d : 1<f'(x)<3.55
alors:
sur l'intervalle [x,1]: exp(x)-cosx-exp(1)+cos1 < 3.55(x-1)
exp(x)-cosx <3.55x-3.55+2.17
exp(x)-cosx<3.55x-1.38
or 3.55x-1.38-4x=-(045x+1.38)<0 puisque x appartient a [0,1]
donc exp(x)-cosx < 3.55x-1.38 <4x (inEgalitéA)
sur l'intervalle [0,1]: exp(x)-cosx-exp(0)+cos0>1(x-0)
exp(x)-cosx >x inEgalitéB
{cos0-exp(0)=1-1=0}
Conclusion:
à partir de L'inEgalitéA et L'inEgalitéB on peut conclure que :
x<exp(x)-cosx<4x
