Bonjour tout le monde ;
Je voudrais fixer mes idées sur la partie.
Je voudrais donc savoir si quelqu'un a la liste suivante:
1-la liste des points A, B, C, ...... qui decompose 9
2-la liste des points A, B, C, ...... qui decompose 15
3-la liste des points A, B, C, ...... qui decompose 21
Veuillez m'aider si vous travaillez sur la courbe elliptique donc merci d'avance.
Bonjour Saniadaff.
Je ne comprends pas ton message. C'est quoi "la courbe elliptique" ? Et que veut dire "décompose" ici ?
Cordialement.
Bonjour,
S'il s'agit de la factorisation de Lenstra par les courbes elliptiques ... voir ici le principe :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Factor...es_elliptiques
Oui, mais ça n'éclaircit en rien la demande de Saniadaff. "la courbe elliptique" ?? Laquelle ? "points" ? "décompose" ?
Cordialement.
NB : décomposer en facteurs premiers 9, 15 et 21 est à la portée d'un enfant de 10 ans. Sans courbe elliptique. Il suffit de lui expliquer qui sont les premiers.
Bonjour
Une courbe elliptique est toute courbe plane d'équation y2=x3+ax+b qui est la forme simplifier, où le discriminant -(4a3+27b2) de x3+ax+b est non nul. On rajoute à cette courbe un point à l'infini noté O.
L'une des propriétés de cette courbe dit que les coordonnées d'un de ces points est un produit de facteurs d'un nombre composé.
Si je prend 9 , je choisis une courbe elliptique au hasard et parcourir les points et si aucun point ne décompose je change la courbe et ainsi de suite
Les courbes elliptiques sont généralement enseignées au niveau universitaire, notamment dans les cours de mathématiques ou d'informatique. Elles sont abordées en premier dans des matières comme l'algèbre abstraite, la théorie des nombres ou les cours axés sur la cryptographie, souvent au cours de la première année de master
Si vous comprenez ma question, pour décompresser 9 on peut par chance le faire à l'aide de la première courbe prise au hasard et par mal chance essayer plusieurs courbe et en plus la méthode informatique n'établit pas la liste de tous les points, donc s'arrête en cours de route quand le nécessaire à la factorisation est rencontré.
Moi je veux une approche plus mathématique càd je veux la liste de tous les points pour certains nombres pour des fins d'analyse.
Merci
Bonjour Monsieur Black Jack 2
Cz n'est pas un algorithme que j'ai besoin mais le côté maths.
La liste des points d'une courbe elliptique qui décompose 9 , ......
Bonjour,
On n'a évidemment pas besoin de la factorisation de Lenstra par les courbes elliptiques pour décomposer des nombres tels que 9, 15 ou 21
Peut-être que cet exercice est demandé pour s'habituer à la méthode avec des nombres simples.
Par exemple : décomposer n = 15 :
Il faut commencer par choisir une courbe elliptique et un point sur cette courbe
Par exemple la courbe y² = x³ + x + 14 (mod 15) et le point P(2,3)
Calcul des multiples du point et recherche du PGCD
a) pour 2P
s = (3(xP)² + 1)/2yP (mod 15)
x(2P) = s² - 2xP (mod 15)
y(2P) = s(xP - x2P) - yP (mod 15)
3(xP)² + 1 = (3*2² + 1)
2yP = 2*3 = 6
inverse de 6 mod(15).
PGCD de 6 et 15 = 3, facteur non trivial de 15 (1 < 3 < 15)
on a trouvé le facteur 3 par l'essai de calcul de 2P -->
l'autre facteur est 15/3 = 5
Les facteurs premiers de 15 sont donc 3 et 5
Ouf, c'est la bonne réponse (peut-être obtenu avec l'une ou l'autre entorse à la méthode de factorisation de Lenstra par les courbes elliptiques dont je ne suis pas un habitué)
Bien entendu, on trouve cela beaucoup plus facilement de manière "classique" dans ce cas du nombre 15.
Voir si le but n'est pas celui en bleu ci-dessus.
Monsieur Black Jack 2
Vous n'avez pas bien compris ma question
Bonjour,
Il me semble que ta question n'a pas de sens.
La méthode de factorisation par courbes elliptiques de Lenstra utilise un point P choisi arbitrairement sur une courbe elliptique E choisie aléatoirement.
Le processus de calcul des multiples du point (par exemple, 2P,3P;...) (mod N) mène à la découverte d'un facteur lorsque le calcul échoue.
Pour N=9, le facteur trouvé serait 3.
Il n'y a pas de "liste fixe de points" car le choix est aléatoire et la méthode produit un facteur premier de N.
Bonjour
C'est parce que vous n'avez pas compris ma question.
Je ne cherche pas un algorithme, d'ailleurs je je n'ai pas évoqué lenstra.
Je vais pas corriger votre calcul mais vérifier bien, le point P(2,3) n'est pas un point de votre courbe y2=X3+x+14.
3(3)=2(2)(2)+2+14
9=24 (faux)
Donc les calculs sont un peu tiré par les cheveux.
Il y a certainement des experts qui travaillent sur cette notion et savent ce que je veux réellement.
Merci beaucoup pour votre aide.
il faut raisonner modulo 15. Et Black Jack a raison : ta question est mal posée.
Bonjour
Vous voulez dire la liste des points de la courbe elliptique modulo 15 ?
La liste des points de la courbe elliptique modulo 9?
Relire à tête reposée BlackJack et ne rien omettre :Envoyé par saniadaff
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
jacknicklaus je vois bien;
En raisonnant en terme mod il a raison et peut etre ça pourrait m'aider s'il comprend ma question.
Si je choisi cette courbe à l'infini donner par un eminent expert y² = x3 + 1 et les points (2, 3), (0, 1), (–1, 0), (0, –1), (2, –3) l'ensemble de ces points.
On vois que tous ces points verifi la courbe et le passage à un point de plus càd le point six 6 nous donne une indetermination donc qui prouve que la limitte de ces points reste à cinq(5) points.
On remarque bien aussi que le point (2, 3), comme vous l'aviez demontrer ci-dessus decompose 9, 15 et 21 sauf si mon assertion n'est pas la bonne.
Quand à vous, vous aviez pris cette courbe y² = x³ + x + 14 (mod 15) et le point P(2,3) mais le seul point.
Moi je veux avoir la liste P(2,3), ..... jusqu'à la limite de la courbe puisque vous travaillez dans un corp fini.
S'il ya une autre courbe qui fera aussi l'affaire pour 9 et une autre pour 21 etc.. j'en ai besoin pour mes analyses.
Pour celui de cinq(5) points là, depasse mes estimations comme ça ait à l'infini.
Merci
remarque qu'on n'a pas ici un corps fini car 15 n'est pas premier.
On dit qu'une courbe elliptique est un corps fini lorsqu'elle est définie sur un corps fini, c'est-à-dire un ensemble fini de points où chaque point a des coordonnées qui sont des éléments de ce corps fini.
MissJenny si vous avez compris ma question pouvez-vous la répondre?
SINON LAISSER LES EXPERTS TRAITER
Bonjour,
Peut-être avec Wolfram Alpha (ou Mathematica si vous l'avez sous la main)
y^2=x^3+x+14 Modulus 15
y^2=x^3+1 in Integers
(je suis non expert !)
Inutile de crier, surtout quand on raconte n'importe quoi !
Bonjour M gts2;
Après l'execution de votre lien:
La courbe y2=x3+1 avec les coordonnées
x = 2 and y = ± 3
x = 0 and y = ± 1
x = -1 and y = 0
sont bien comprehensibles
Mais y2=x3+x+14 mod 15 avec les coordonnées
x congruent 1, y congruent 1 (mod 15)
x congruent 1, y congruent 4 (mod 15)
x congruent 1, y congruent 11 (mod 15)
x congruent 1, y congruent 14 (mod 15)
x congruent 2, y congruent 3 (mod 15)
x congruent 2, y congruent 12 (mod 15)
x congruent 5, y congruent 3 (mod 15)
x congruent 5, y congruent 12 (mod 15)
x congruent 7, y congruent 2 (mod 15)
x congruent 7, y congruent 7 (mod 15)
je ne comprends pas bien
je comprends seulement les quatre ^points suivants:
x congruent 1, y congruent 1 (mod 15)
x congruent 2, y congruent 3 (mod 15)
x congruent 5, y congruent 3 (mod 15)
x congruent 7, y congruent 2 (mod 15)
gg0 je ne comprends absolument rien; un peu plus de précision
Ci-dessous une table avec
Deux premières colonnes x ; y
Colonnes suivantes y2=y2 ; fx=x3+x+14
Deux dernières colonnes y2mod=y2 (mod 15); fxmod=(x3+x+14) (mod 15)
On vérifie bien que pour tous les points y2=(x3+x+14) (mod 15)
1) écrire en majuscules, dans les messages, est considéré comme une façon de crier (en général par énervement).
2) "Laisser les experts traiter" est un peu ridicule quand on pose des questions sur ce qu'on ne connaît pas (au point de confondre courbe elliptique et corps fini).
Autre chose : Apprendre un peu de mathématique (même élémentaire) ne peut pas faire de mal, surtout quand on a du mal à comprendre que "x congruent 1, y congruent 4 (mod 15)" est un ensemble de solutions de l'équation y^2=x^3+x+14 mod 15. Au passage, écrire " y2=x3+x+14 mod 15" est un manque de sérieux. Qui rend encore plus ridicule le cri du message #16.
Merci le Co-equipier Professeur gg0!
Comme vous êtes dans le vif du sujet, je ne comprends pas quand on dit y^2=x^3+x+14 mod 15 et dans les calculs les deux membres soient muni du mod.
Un peu d'explication;
sinon voici comment moi j'ai procédé
x^3+x+14 mod 15=1^3+1+14 mod 15=16 mod 15=1
y^2=4^2=16
16 n'est pas égal à 1 sauf si 16 soit aussi muni de la relation mod.
alors que les coordonnées sont (1, 4) et il faut remplacer x=1 et y=4;
Quand dites vous?
Merci M gts2
Bonjour,
Il me semble que c'est la définition même de y=x (mod n) qui conduit à cela : wikipedia
(Je ne suis pas expert, ni même mathématicien)
Merci beaucoup pour l'éclairage.
Le nombre de point est un peu élévé mais je pense une astuce pour etre dans mon hypothèse.
comment proceder pour 9 et 21 apartir de l'application wolfram alpha?
je vais analyser les deux aussi
Tu es quand même un peu bizarre, Saniadaff, de demander des explications sur des techniques d'arithmétique et d'algèbre de haut niveau sans connaître les bases qu'on voit généralement au lycée !!
Ne te serais-tu pas embarqué dans une réflexion qui te dépasse ?
Je te le répète : Apprendre un peu de mathématique (même élémentaire) ne peut pas faire de mal. Sinon, il sera impossible de t'aider, tu ne sauras même pas de quoi on parle.
Dernière modification par gg0 ; 27/11/2025 à 16h54.
Je ne comprends pas ton message. C'est quoi "la courbe elliptique" ? Et que veut dire "décompose" ici ?
Voici ton message ci-dessus pour dire que tu pensais que j'étais au secondaire.
Et signaler aux administrateurs avec une moquerie (cordialement) dont j'ai ignoré.
Je sais que tu ne pourras jamais m'aider car mes sujets t'on toujours dépassés
Tu fais des discours pour ne rien allons droit au bute.
As tu répondu au sujet pour que je vous pose par la suite un défaut de compréhension ?
Une seule chose que moi je sais, certains aime se glorifier d'une sagesse qu'ils n'auront jamais car ne pas avoir un niveau requis n'interdit à quiconque de publier un sujet sur ce niveau pourvue que ça le bon endroit et un sage répondra gentiment sans réprimande ni de se faire d'éloge.
Poser de question veut dire quoi ?
Personne ne pose de question sur quelle que chose dont il connaît la réponse alors que toi tu veux que je pose ma question en la sachant. domage si je te dérange ici, mais je poserai toujours mes questions comme d'habitude. Je suis imperturbable sur ce point.
Bon, tu ne comprends même pas que tes incompréhensions mathématiques font que de temps en temps tu racontes des absurdités. Et tu penses qu'on peut traiter intelligemment une question en se contentant de manipuler les mots sans les comprendre ("car ne pas avoir un niveau requis n'interdit à quiconque de publier un sujet sur ce niveau pourvue que ça le bon endroit").
Et tu deviens carrément mal-comprenant : "Personne ne pose de question sur quelle que chose dont il connaît la réponse" !! Alors que je te suggère d'apprendre des choses élémentaires pour pouvoir poser des questions intelligentes.
Tu refuses d'apprendre ? Tant pis pour toi. Mais ne rêves pas, tu ne feras rien de bon. Au mieux, tu copieras bêtement ce qu'un "sage" a gentiment répondu.
Jamais au plus grand jamais que je vais copier, je sais toujours là où je vais aboutir.
j'ai fait plein de choses qui m'apartiennent tout seul et exploiter pour d'autres pour créer de nouveau ne me fera pas un copiste.
ce tu ne comprends pas est de prendre l'habitude à demotiver ceux qui veulent m'aider ou à fermer mes discussions avec certains de vos lieutenants.
Au lieu de me gronder, reprimender ou fustiger mes questions qui n'est pas le cas aujourd'hui car tu admet que je porte une question intelligente alors que moi je suis bête.
sinon d'habitude c'est sur la question même ou ma façon de faire, ma façon d'écrire etc.. mes croyez moi que j'ai mon propre chemin qui ne changera jamais sinon j'obtiendrai ce que tout le monde a dejà.
Tu ne remarque pas que depuis que tu a commencé les pic à mon encontre, les aides se sont tarisent sur ce sujet? Qu'est ce que tu gagnera en plus?
Dernière modification par saniadaff ; 27/11/2025 à 21h53.
Soyez sûr que je vous aiderais indépendamment de ce que dit gg0, si je savais quoi vous dire pour le faire.
gg0 m'a devancé en vous donnant les liens de la problématique vers Wolfram Alpha.
Et surtout, je ne suis pas un expert, ni un mathématiciens, juste moi...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
