point a l'infinit et courbe elliptique

[invited4d4a21a]

salut a tous


j'ai un probléme de pont l'infinit


on a la courbe elliptique (mod N) union O


et maintenant comment faire pour prouver que

1284p=O=(0,1,0) p est un point de la courbe elliptique

Merci
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[invited4d4a21a]

la courbe est mod 1283 union O

[invite76543456789]

Salut,
J'imagine que p est un point entier de la courbe elliptique, connais tu le theoreme de nagell-lutz?

[invited4d4a21a]

merci pour la réponse

non mais j'ai trouvé http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...de_Nagell-Lutz

mais j'ai pas compris comment faire

svp aidez moi

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Ok, tu n'auras pas besoin de ce theoreme.
Peux tu trouver l'ordre de E(F_1283)? Si tu prouver que l'ordre de ce groupe divise 1284, tu as fini.

[invited4d4a21a]

ok

svp détailler j'ai pas compris

c'est quoi E(F_1283)

[invite76543456789]

E c'est ta courbe elliptique.
Je vais pas faire les calcul a ta place! Que sais tu exactement sur les courbes elliptiques?

[invited4d4a21a]

bon j'ai trouvé

1284p=2(2(p+2(2(2(2(2(2(p+2(2p )))))))))=......=(0,1,0) cette formule trop compliqué et j'ai pas compris comment faire pour trouver O

on prend p=(121,30) appartient a la courbe


l'addition des points sur les courbes elliptique , on utilise les formules de calcules

mais cette formule 2(2(p+2(2(2(2(2(2(p+2(2p)))))) ))) incompréhensible

[invited4d4a21a]

p=(121,30)


1284p(0.1.0)
p de deux cordonnés et 1284 de 3 cordonnés c'est pas possible

[invite76543456789]

Es tu sur de bien maitriser tout cela? On ne te demande pas de verifier la chose pour un seul point!
D'autre part le point a l'infini est ecrit en coodonées homogènes, il n'y a pas 3 coordonées! C'est parce qu'on est dans le plan projectif.

[invite4793db90]

Salut,

mais cette formule 2(2(p+2(2(2(2(2(2(p+2(2p)))))) ))) incompréhensible

M'est avis que cet indice permet le calcul de 1284p en "seulement" 12 opérations. En fait, au bout de la 10ème on trouve O, soit 321p=O.
Comme 321 = 107×3 et que 3p et 107p sont différents de O, on en déduit que l'ordre de p vaut 321.
L'ordre de est donc un multiple de 321. Mais le théorème de Hasse permet d'encadrer cet ordre, entre 1213 et 1355.
Le seul multiple de 321 dans cet intervalle est 4×321=1284, cqfd.

Ceci étant, il y a peut-être plus direct. À l'aide du logiciel pari/gp, les calculs se font sans douleur tandis qu'à la main, c'est une autre histoire.

J'imagine que p est un point entier de la courbe elliptique, connais tu le theoreme de nagell-lutz?

Je ne vois pas le lien avec ce théorème, qui est une condition nécessaire pour qu'un point de soit de torsion en caractéristique nulle. Mais j'ai peut-être raté un épisode ?

Cordialement.

[invite76543456789]

Je ne sais pas si le theoreme de Nagell-lutz permet de conclure mais si p est un nombre premier de bonne réduction alors E(Q)_tors s'injecte dans E(F_p)_tors=E(F_p), et le theoreme de Nagell-lutz permet de calculer l'ordre de points de E(Q)_tors et donc d'avoir des diviseurs de l'ordre de E(F_p), et de se rebrancher sur une raisonnement comme tu le proposes.
Sinon on peut calculer directement E(F_p) modulo p moyennant des calculs de symbole de legendre, puisque E(F_p)=1+\sum(1+leg_p(f(x))), ou leg_p(f(x)) vaut 1 si f(x) est un carré mod p, et -1 sinon (et 0 si f(x)=0) ce qui revient a calculer f(x)^{(p-1)/2} pour p un nombre premier impair, ce qui devrait suffire pour conclure également (d'ailleurs via le theoreme de Hasse, la conaissance de E(F_p) mod p pour p assez grand suffit pour déterminer E(F_p)).

Voila ce que j'avais en tete en fait, sans assurance que cela fonctionne (enfin la seconde methode ne peut que fonctionner si on a assez de puissance de calcul).

[invite4793db90]

Salut,

E(Q)_tors s'injecte dans E(F_p)_tors=E(F_p)

En effet, j'avais oublié cet aspect.
Les racines de x³-x donnent trois points d'ordre 2 et la torsion contient donc Z/2Z×Z/2Z : cela donne le 4 dans la factorisation de 1284.

Cordialement.