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limite xsin(2/x) en l'infinit



  1. #1
    rems2K

    limite xsin(2/x) en l'infinit


    ------

    bon ben je voudrait etre aider pour cette fonction s'il vous plait car je n'arrive pas a determiner cette forme indeterminee merci !

    lim x*sin(2/x) = ?
    x>infinit

    ils nous disent de prendre X=2/x or x ne peut etre factorise par cela donc je suis perdu ><

    merci d'avance pour tout votre aide

    -----

  2. #2
    olle

    Re : limite xsin(2/x) en l'infini

    si tu dis pas en quelle année tu es, c'est difficile de t'aider correctement.
    il y a eu une question quasi pareille ya 2 jours.

    tu peux le faire différemment :

    - par Hospital
    - en sachant que le sinus d'un petit angle peut etre assimilé à ce même angle : sin(y) = y pour y petit
    - en développant sin(y) en série autour de 0 : sin(y) = y - y³/6 + ... (ce qui démontre bien la deuxième façon de faire)

  3. #3
    Geof

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    Hmm, s'il connaissait les développements de Taylor, à mon avis, son problème serait trivialement résolu.
    Donc, s'il pose la question, et avec l'indice qu'il nous donne, je pense qu'il doit être en Terminale (un peu tôt en 1ère, pour avoir déjà vu la dérivée):
    En posant X = 2/x, tu as:
    x = 2/X et
    lim(x->Inf) X = 0

    Ton expression se réécrit en fonction de X comme
    2/X * sin(X), ou encore 2*sin(X)/X, avec X qui tend vers 0.

    Comme sin(0) = 0, tu retrouves avec sin(X)/X la dérivée de sin en 0.

    Il ne te reste plus qu'à conclure.

    Geoffrey

  4. #4
    olle

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    effecivement on peut aussi le faire à partir de la définition d'une dérivée appliqué au cas particulier où l'absisse vaut 0 et la variation d'absisse vaut X

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    bolzano

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    Je pense que la meilleure façon c'est la suivante.
    Sin(x)/x tend vers 1 lorsque x tend vers 0.
    donc par changement de variable on aura xsin(1/x) tend vers 1 losque x tend +inf.
    Encore un changement de variable on obtient lim xsin(2/x) = lim2xsin(1/x) = 2.
    Et les gars svp en postant des reponses utilisez des trucs en programme.L'Hopital c'est hors programme meme en prepa, et telle que la question est posée on doit pas utiliser la derivée ou le dev limité.....

  7. #6
    olle

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    ah ouais et savoir que sin(x)/x tend vers 1, ça tombe du ciel ? ça découle directement du développement en série ou de la définition de la dérivée.
    si on vous l'apprend comme ça "on vous le dit, cherchez pas à comprendre", c'est super intéressant le "programme"...

    hospital on m'a appris à l'utiliser je pense je devais avoir 14 ou 15 ans.
    sinon pour le changement de variable, évidemment qu'il "faut" le faire.

    tout dépend de son niveau quoi.

  8. #7
    olle

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    les mathématiques c'est pas du par coeur quoi...

    si le prof lui dit qu'il faut poser X = 2/x
    si en plus on lui dit "comme ça" que sin(X)/X tend vers 1 quand X tend vers 0 sans lui dire pourquoi...

    1) c'est plus des maths, c'est de la combinaison d'indications
    2) il n'y a plus d'exercice... tout est prémaché

  9. #8
    rems2K

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    dsl je ne l'ai pas dit je suis en termS et heu il faudrait m'expliquer hospital peut etre que ce m'aidera plus tard merci

  10. #9
    olle

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    si tu n'as pas vu Hospital, laisse tomber. c'est un truc du genre "lorsque la limite d'un quotient est une indétermination, cette limite vaut le quotient des dérivées", je connais pas la formulation exacte.
    lim a(x)/b(x) = lim a'(x)/b'(x)

    si tu as vu la définition d'une dérivée : f'(x) = lim h->0 [ f(x+h) - f(x) ] / h
    alors tu peux t'en sortir avec ça...
    si tu as vu taylor et mac laurin, tu peux aussi l'utiliser facilement.

    je ne connais pas le programme français, mais en tout cas en Belgique on voit avant 18 ans hospital ainsi que taylor et mac laurin. je me souviens pas pour la définition de la dérivée.
    Dernière modification par olle ; 21/09/2004 à 17h43.

  11. #10
    rems2K

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    ouai mais bon c'est juste le debut de l'annee c'est pas comme si on ne me l'apprendra pas au cours de cette annee mais merci quand meme

    j'ai trouver un site web qui me l'explique mais merci quand meme
    http://zuse.esnig.cifom.ch/math/Chap...6Th/sld118.htm
    Dernière modification par rems2K ; 21/09/2004 à 17h48.

  12. #11
    rems2K

    Talking Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    en fait la reponse c'est ca :
    x*sin(2/x)=2*(x*sin(2/x))/2=2*(sin(2/x)/(2/x)

    or on a X=2/x donc f(x)=2*sin(X)/X et donc lim sin(X)/X=1 car
    lim X =0 x +oo
    x +oo

    donc par produit 2*1=2 donc lim f(x)=2
    x +oo
    Dernière modification par rems2K ; 21/09/2004 à 17h57.

  13. #12
    olle

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    à toi de voir si ton prof va se satisfaire d'un "lim sin(X)/X=1" avec une explication aussi... brève... et peu rigoureuse

  14. #13
    justine&coria

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    sin(x) / x = [sin(x) - 0] / [x - 0] = [sin (x) - sin(0)] / [x - 0] car sin (0) = 0 !!

    Donc, limite quand x tend vers 0 de sin(x) / x est égale à la limite quand x tend vers 0 de [sin (x) - sin(0)] / [x - 0].

    Cette dernière expression est la définition du nombre dérivé de sin (x) en 0 (c'est la limite quand x tend vers 0 du taux de variation)!

    Donc cette limite est égale à sin' (0) = cos(0) = 1 !!!

    En fait, le but, c'était de reconnaître un taux de variation !

    Voilà, c'est pas hyper compliqué (quand on écrit pas sur l'ordi comme je viens de la faire) et c'est du programme de Terminale S !!

    Mais, je pense que lim{sin(x) / x} = 1 quand x tend vers 0 est une formule du cours.
    Dernière modification par justine&coria ; 21/09/2004 à 19h06.

  15. #14
    bolzano

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    Citation Envoyé par olle
    ah ouais et savoir que sin(x)/x tend vers 1, ça tombe du ciel ? ça découle directement du développement en série ou de la définition de la dérivée.
    si on vous l'apprend comme ça "on vous le dit, cherchez pas à comprendre", c'est super intéressant le "programme"...

    hospital on m'a appris à l'utiliser je pense je devais avoir 14 ou 15 ans.
    sinon pour le changement de variable, évidemment qu'il "faut" le faire.

    tout dépend de son niveau quoi.
    Salut olle
    tu donnes des reponses avec toute confiance et parfois tu essaye de te moquer des autres.Deja le fait que la derivée de sin c'est cos, ca vient du fait que sin(x)/x tend vers 1, et pas le contraire.Revise tes cours.

  16. #15
    Quinto

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    Je ne comprend absolument pas ton agressivité déplacée..
    De plus je ne vois pas du tout ou olle a essayé de se moquer de quique ce soit...

    Pour finir sache que la dérivée de sin et de cos découle directement de la définition de sin et cos et on en déduit que la limite de sincardinal vaut 1 en 0.

    Charité bien ordonnée commence par soit même, relis ton cours et n'usurpe pas le nom d'un vrai mathématicien en passant...

  17. #16
    olle

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    je vois vraiment pas où je me moque...

    je dis juste qu'il y a (au moins) 3 façons de démontrer l'exercice, plutot que le résoudre grace à des formules toutes faites. je pense que c'est quand même largement plus intéressant... surtout que je me souvenais avoir appris ces choses à l'age de la personne.

    et puis tu viens me faire ch*** avec un "programme" que je n'ai forcément pas, vu que je suis même pas français.

    c'est pas de ma faute si tu repasses après moi en disant "la meilleure façon est la suivante" en expliquant exactement la même façon de faire (en fait t'as même simplement réexpliqué ce que le prof lui avait déjà dit), mais en sautant une démonstration car "pas au programme"

    ce post là était beaucoup plus agressif je trouve.
    comme celui-ci, j'avoue
    Dernière modification par olle ; 22/09/2004 à 07h43.

  18. #17
    olle

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    je vais te montrer ce que ça donne quand je me moque, comme ça yaura plus de mal entendu par la suite.

    qu'un gars me dise de réviser mes cours, tout en affirmant dans un autre post que les complexes servent "surtout en géométrie", ça me fait pouffer de rire.

    enfin bref j'ai fini d'essayer d'aider les gens ici.

  19. #18
    bolzano

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    Citation Envoyé par Quinto
    Je ne comprend absolument pas ton agressivité déplacée..
    De plus je ne vois pas du tout ou olle a essayé de se moquer de quique ce soit...

    Pour finir sache que la dérivée de sin et de cos découle directement de la définition de sin et cos et on en déduit que la limite de sincardinal vaut 1 en 0.

    Charité bien ordonnée commence par soit même, relis ton cours et n'usurpe pas le nom d'un vrai mathématicien en passant...
    je suis pas d'accord, meme dans le programme prépa MP tel qu'on a definit sin et cos (d'une façon géometrique comme au lycée), on calcule dérivée de sin à partir de la limite du sinus cardinal.

    (sin(h+x)-sin(x))/x = 2sin(x/2)cos(h/2 + x)/x et ceci tend vers cos(x) sachant que sin(x)/x tend vers 1.

    Bien sur que l'on peut le montrer sans untiliser la limite du sin cardinal en adoptant la construction analytique des fonctions géometriques (par les intégrales), mais c'est hors programme .

  20. #19
    invite76

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    Citation Envoyé par olle
    enfin bref j'ai fini d'essayer d'aider les gens ici.

    Très très mauvaise idée! Continuez, au contraire. Un des grands intérêts de ce forum est justement de permettre des échanges, qui aident ceux qui questionnent et enseignent à ceux qui aident. Je trouve cette attitude très sympathique et j'essaie aussi parfois de donner un coup de main, bien que mes études soient lointaines.
    Il est toujours difficile de répondre à une question en ne connaissant pas les connaissances supposées du demandeur, ce qui serait plus précis et plus exact que de parler de "niveau" , qui est un terme inapproprié,car étant une grandeur mesurable.
    En particulier, on parle de programme: mon prédécesseur faisait, et je fais le faire également cette année, la règle de l'Hospital, en première année du supérieur, mais pas en prépa.

    Cordialement

    JM

  21. #20
    Quinto

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    Citation Envoyé par bolzano
    je suis pas d'accord, meme dans le programme prépa MP tel qu'on a definit sin et cos (d'une façon géometrique comme au lycée), on calcule dérivée de sin à partir de la limite du sinus cardinal.
    Alors c'est que tu 'es pas dans un niveau suffisament avancé pour pouvoir correctement définir le cosinus et le sinus de manière rigoureuse.
    Le sinus d'une matrice, de manière géométrique c'est plutôt moyen...
    Tu aurais du la jouer profil bas au lieu d'envoyer ballader les intervenants du forum, ce n'est pas parce que tu es en MP que tu es le dieu des maths, ici on est pas la pour envoyer ballader tout le monde, mais pour avoir des discutions posées sur un sujet ou pour venir en aide de temps en temps.
    Quand tu parlais de relire ton cours, je t'invite a relire le tient.
    J'ajouterai que je doute fortement qu'en MP on définisse le cosinus et le sinus de maniere géométrique étant donné qu'on travaille sur des sinus et des cosinus dans des Banach mais bon....

  22. #21
    bolzano

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    Citation Envoyé par Quinto
    Alors c'est que tu 'es pas dans un niveau suffisament avancé pour pouvoir correctement définir le cosinus et le sinus de manière rigoureuse.
    Le sinus d'une matrice, de manière géométrique c'est plutôt moyen...
    Tu aurais du la jouer profil bas au lieu d'envoyer ballader les intervenants du forum, ce n'est pas parce que tu es en MP que tu es le dieu des maths, ici on est pas la pour envoyer ballader tout le monde, mais pour avoir des discutions posées sur un sujet ou pour venir en aide de temps en temps.
    Quand tu parlais de relire ton cours, je t'invite a relire le tient.
    J'ajouterai que je doute fortement qu'en MP on définisse le cosinus et le sinus de maniere géométrique étant donné qu'on travaille sur des sinus et des cosinus dans des Banach mais bon....
    T'es trop agressif.je pretends pas etre le dieu des maths, d'ailleurs il y en a plus dans cette epoque (c'etait chez les grecs).
    Bon c'est pas grave, c'etait juste un petit malentendu.On fait pas une demonstration de force ( si c'etait le cas, tu sortirais perdant :je rigole).

  23. #22
    Coincoin

    Re : limite xsin(2/x) en l'infinit


    Du calme, du calme...
    Il n'est pas nécessaire de s'étriper pour une histoire de définition.
    Encore une victoire de Canard !

  24. #23
    rems2K

    Smile Re : limite xsin(2/x) en l'infinit

    oups je ne pensait pas qu'une simple question poserais tant de problemes mais bon je sais qu'il est diffficile de repondre lorsque l'on ne sait pas ce que sont les donnees sur lesquelles la personne en face de soit s'appuit donc je vous remercie tous pour votre aide .
    merci beaucoup
    --rems2K--

    "life is short so keep kewl on it"


    ps: je trouve que dire que coincoin est gagnant est facile si l'on est moderateur XD non je plaisante

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