Algèbre tensoriel

[inviteafe88240]

Bonjour, Soit E un K-espace vectoriel.

On appel vecteur contravariant tous vecteur élément de E. Les vecteurs covariants(ou covecteur.). sont les éléments de l'espace dual de E noté E*.
Quelle est l'interêts de les appelez covariants ou contravariants? Je n'ai en faite jamais vraiment compris ces deux notions de contravariants et de covariants.

En fait je fais cela pour faire de l'algèbre tensorielle.

Merci d'avance et bonne journée.

PS : Essayez je vous prie de m'expliquer cela en se basant sur de l'algèbre linéaire.
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[invite76543456789]

Salut,
C'est une terminologie un peu désuette (mais encore utilisée par les physicien).
Si tu te donne un espace E, de "base", les vecteurs sont les elements de E, et on appelle forme linéaire (ou covecteurs selon ta terminologie) les elements du duals, qui sont comme leur nom l'indique, les fonctions de E dans le corps de base, qui soient K-linéaires.
Je vois pas trop ce qu'il y a de plus à en dire. L'interet de leur donner un nom? Bah il faut bien leur en donner un, on aurait pu les appeler tarte à la fraises et pots a bierre, ca n'aurait rien changé.

[inviteafe88240]

D'accord merci maintenant j'ai une dernière question;

f6ab08e8325163d3f44820c5575eed28.png

1b80946ea0dbb342775778cf99394597.png

Que veulent dire ces égalités(à quoi sont elles équivalentes.).?

Merci d'avance. Bonne soirée.

PS : elle sont tirés de la page à l'URL d'encre suivante http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur...C3.A9sentation

[invite76543456789]

Je te dirai apres la validation des pieces jointes =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteafe88240]

La validation?

[inviteafe88240]

Je vais les renvoyer:

1b80946ea0dbb342775778cf99394597.png

f6ab08e8325163d3f44820c5575eed28.png

Bonne matinée.

[invite76543456789]

Quand tu te donnes une base de ton espace E (que l'on va supposer de dimension finie, sinon ca ne marche pas) que l'on va noter disons e_i. Tu hérites d'une base de E^*, notée e_i^* qui sont simplement les projections sur les droites K.e_i
Dit autrement un vecteur x s'ecrit de manière unique x=\sum x_i e_i, tu pose e_i^*(x)=x_i, il n'est pas difficile de verifier que les e_i^* sont linéaires et forment une base de E^*.
Ainsi les coordonnées d'un vecteur x dans la base e_i sont simplement donnés par les e_i^*(x).
De meme si tu prend un forme linéaire disons f, alors les coordonées de f dans la base e_i^*, sont simplement les f(e_i) (c'est un petit calcul pas complique).

[inviteafe88240]

Merci pour tout. Je pense que j'ai de quoi "attaqué" les tenseurs pour la relativité générale, les symboles de Christoffel, l'identité de Bianchi...

Je vous shouaîte une très bonne aprés-midi.

[invite4793db90]

Salut,

L'interet de leur donner un nom? Bah il faut bien leur en donner un, on aurait pu les appeler tarte à la fraises et pots a bierre, ca n'aurait rien changé.

Il y a une explication un peu plus convaincante dans le livre de R. Godement, p.141 : Analyse mathématique III.

J'aime bien la note de pied de page, p. 142 : « Les puristes répondront qu'on peut se passer de coordonnées. Ce n'est apparemment pas l'avis des physiciens ». Il y a d'autres passages croustillants, notamment sur les que semble-t-il Serge Lang comparait à un « insecte déplaisant ».

Cordialement.

[inviteafe88240]

J'en prend note merci et bonne journée.