Produit tensoriel

**Tiky** · 14/10/2012, 18h34

Bonjour,

Je suis entrain d'apprendre le produit tensoriel sur des modules et j'ai un énoncé qui me laisse perplexe.
Le problème vient d'une définition qui n'a pas de sens selon moi.

Soit B un anneau commutatif et A un sous-anneau de B. On me demande de montrer qu'il existe une application
A-linéaire $\text{[math]}$ induite par le produit sur B (qui est bien une application A-bilinéaire).
Il suffit d'utiliser la propriété universelle du produit tensoriel.

Ensuite l'auteur pose $\text{[math]}$ . On est bien d'accord que I est un A-sous-module de $\text{[math]}$ .
Et pourtant il définit $\text{[math]}$ comme étant l'idéal de B engendré par les éléments $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
Qu'est-ce que ça signifie ? je n'ai pas de produit sur $\text{[math]}$ et je ne vois pas comment corriger.

Il considère même le quotient $\text{[math]}$ ...
Si vous ne voyez pas, je mettrai la suite de l'énoncé mais ça nécessite d'introduite beaucoup d'autres choses.

Merci pour votre aide.

invite76543456789 · 14/10/2012, 23h13

Salut!
J'imagine que tu regarde la construction algébrique des formes differentielles.
I c'est un $\text{[math]}$ -module, (un idéal de $\text{[math]}$ en fait) et $\text{[math]}$ est le $\text{[math]}$ module $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ c'est naturellement une $\text{[math]}$ -algèbre en fait avec le produit défini comme on pense, $\text{[math]}$ .
Le quotient I/I² n'est rien d'autre du coup que $\text{[math]}$ et c'est naturellement le module des différentielles de B sur A (qui représente le foncteur des A-dérivations de B), muni de la differentielle d:B->I/I², donnée par $\text{[math]}$

**Tiky** · 14/10/2012, 23h39

Ok merci. C'est tout de suite plus clair. Je vais pouvoir finir l'exercice

Produit tensoriel