Produit tensoriel

invite52487760 · 30/07/2012, 17h41

Bonjour à tous,
J'aimerai vous poser deux questions succinctes, si vous me permettez :

$\text{[math]}$ Pourquoi $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un ouvert de l'espace vectoriel $\text{[math]}$ de dimension finie et $\text{[math]}$ l'espace des $\text{[math]}$ - formes multilinéaires alternées sur $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ Pourquoi $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .
Merci d'avance.

invite52487760 · 30/07/2012, 17h53

J'ai oublié de préciser que $\text{[math]}$ est une forme multilinéaire alternée.

invite52487760 · 31/07/2012, 00h27

Un peu d'aide svp.

**taladris** · 31/07/2012, 09h31

Salut,

qu'est-ce que E? Un simple espace vectoriel? Ou le fibré tangent d'une variété lisse?

Dans le second cas, tu peux regarder le livre de Warner "differential manifolds and Lie groups" si tu l'as à disposition. Le premier cas me semble un cas particulier du second, mais probablement avec une formalisme plus léger.

J'essaye de répondre plus complétement dans quelques jours.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite76543456789 · 31/07/2012, 11h54

Salut,
Il te suffit de prouver que si E est un R-ev de dimenions finie et U un ouvert de R^p, alors C(U,E) (je note C pour C^\infty) est canoniquement isomorphe a C(U) tenseur E.
Tu as une application canonique de C(U) tenseur E dans C(U,E) qui est juste la multiplication externe, une reciproque se construit aisément, si tu choisis une base de E alors tout fonction lisse de U dans E s'ecrit de manière unique somme des fi e_i, ou les fi sont des fonctions de U dans R, tu associes a ceci la somme des fi tenseur e_i.
Comme cet isomoirphisme est canonique tu peux meme recoller ca en un isomorphisme de fibrés si ca te chante.

La seconde question j'ai pas compris (mais j'ai l'impression que c'est juste le fait que l'espace des top-formes linéaires alternées est de dimension 1).

invite52487760 · 31/07/2012, 17h04

Merci beaucoup à vous deux

Donc le but est de montrer que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ : un $\text{[math]}$ - espace vectoriel quelconque de dimension finie.
Voici, ce que je pourrais dire la dessus :
On considère : $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .
On considère $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .
Mais, là, je ne sais pas comment montrer que $\text{[math]}$ .
Merci pour votre aide.

invite52487760 · 01/08/2012, 18h15

Un peu d'aide svp. Merci.

invite52487760 · 03/08/2012, 17h32

Bonjour à tous,
Regardez, svp, si, ce que je vais écrire est correct ou non :
On a :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Merci d'avance.

invite52487760 · 05/08/2012, 19h57

Un peu d'aide pour la première question svp.

**taladris** · 06/08/2012, 01h18

Salut,

Envoyé par chentouf

Merci beaucoup à vous deux

Donc le but est de montrer que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ : un $\text{[math]}$ - espace vectoriel quelconque de dimension finie.
Voici, ce que je pourrais dire la dessus :
On considère : $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .
On considère $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .
Mais, là, je ne sais pas comment montrer que $\text{[math]}$ .
Merci pour votre aide.

C'est immédiat, non? N'oublie pas que tout élément $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ peut s'écrire $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ une base de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est une fonction $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ . De même, tout élément $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ s'écrit $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est une fonction $\text{[math]}$ pour tout k.

invite52487760 · 06/08/2012, 03h31

Merci @taladriss.

On a :
$\text{[math]}$ '
Voilà, je n'arrive pas à démarrer, à cause de $\text{[math]}$ en plus $\text{[math]}$ n'est pas linéaire.

Aidez moi svp,

Merci d'avance.

**taladris** · 06/08/2012, 05h51

Salut,

Envoyé par chentouf

Merci @taladriss.

On a :
$\text{[math]}$ '
Voilà, je n'arrive pas à démarrer, à cause de $\text{[math]}$ en plus $\text{[math]}$ n'est pas linéaire.

Aidez moi svp,

Merci d'avance.

$\text{[math]}$ est bien linéaire! Ce qui est une bonne chose puisque on cherche un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Dire qu'un élément $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ s'écrit $\text{[math]}$ , cela signifie qu'en tout point p de U, on a $\text{[math]}$ . Puisque $\text{[math]}$ est linéaire, on a $\text{[math]}$ . Chacun des $\text{[math]}$ est une fonction lisse dont la valeur en p est $\text{[math]}$ . Par conséquent, $\text{[math]}$ . Et donc, $\text{[math]}$ est bien l'identité.

Je te laisse montrer que $\text{[math]}$ est aussi l'identité, c'est similaire.

invite52487760 · 06/08/2012, 07h03

Merci beaucoup. Mais comment sais - tu que $\text{[math]}$ est linéaire ?

**taladris** · 06/08/2012, 07h49

Salut,

parce que l'application $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ doit être compris comme l'application dont la valeur en un point p de U est $\text{[math]}$ ) est bilinéaire. Par conséquent, par la propriété universelle du produit tensorielle, elle induit une application linéaire $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ qui vérifie $\text{[math]}$ .

En fait, le problème n'est pas de vérifier que $\text{[math]}$ est linéaire mais qu'elle est bien définie (les tenseurs élémentaires $\text{[math]}$ forment une famille génératrice, pas une base).

invite52487760 · 06/08/2012, 16h30

Ah d'accord, comme c'est très utile la propriété universelle du produit tensoriel.

Mais, cette linéarité reste toujours ambigue pour moi, puisque, concrètement, la notion d'additivité ne fonctionne pas à mon avis :

Autrement dit, on n'a pas :
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

Où est le problème ? Ou bien, c'est moi qui se trompe dans le calcul ?
En fait, on parle d'homomorphisme de modules, et non de linéarité, je pense.
Merci infiniment.

**taladris** · 08/08/2012, 03h35

En fait, on parle d'homomorphisme de modules, et non de linéarité, je pense.

Comme E est un espace vectoriel réel, on travaille dans la catégorie des $\text{[math]}$ -modules. On a bien affaire à des applications linéaires. D'ailleurs, on parle de linéarité aussi pour les morphismes de modules.

Envoyé par chentouf

Ah d'accord, comme c'est très utile la propriété universelle du produit tensoriel.

C'est pour cela qu'on a inventé le produit tensoriel! Pour transformer des applications bilinéaires en applications linéaires.

Mais, cette linéarité reste toujours ambigue pour moi, puisque, concrètement, la notion d'additivité ne fonctionne pas à mon avis :

Autrement dit, on n'a pas :
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

Où est le problème ? Ou bien, c'est moi qui se trompe dans le calcul ?

Mais comment définis-tu $\text{[math]}$ sinon en imposant la linéarité? A priori, tu n'as défini $\text{[math]}$ que pour les tenseurs élémentaires.

Si tu veux définir une application linéaire et que tu as une base de l'espace de départ, il te suffit de définir la valeur des vecteurs de la base par l'application et d'imposer la linéarité. Si tu as une famille génératrice qui n'est pas une base, tu peux essayer de définir l'application en choisissant les images des vecteurs de la famille génératrice et en prolongeant par linéarité, mais il faut que les choix soient compatibles (pour que, si un vecteur a deux écritures possibles, on obtienne le même résultat).

Ici, il suffit de définir l'application $\text{[math]}$ sur la famille génératrice $\text{[math]}$ du produit tensoriel $\text{[math]}$ . En effet, comme notre définition provient d'une application bilinéaire sur $\text{[math]}$ , la propriété universelle du produit tensoriel implique que l'on peut prolonger $\text{[math]}$ en une application linéaire (la compatibilité est vérifiée).

Cordialement

invite52487760 · 08/08/2012, 04h35

Envoyé par taladris

Mais comment définis-tu $\text{[math]}$ ...

Je la définis de cette manière : $\text{[math]}$ ...
D'ailleurs, la linéarité, d'un coté, et l'expression $\text{[math]}$ de l'autre coté, ne sont pas compatibles, il me semble, car ou bien on impose $\text{[math]}$ linéaire ( ce qui est le cas d'après la propriété universelle du produit tensoriel ), ou bien, on impose $\text{[math]}$ sans imposer la linéarité ... mais, les deux à la fois, ce n'est pas possible, je pense ... Parce que de point de vue logique, linéaire, et non linéaire, est proposition fausse, n'est ce pas ? J'espère que tu as compris où ça pose problème pour moi

**taladris** · 08/08/2012, 07h28

Arf, je voulais plutôt écrire ceci:

Envoyé par taladris

Mais comment définis-tu $\text{[math]}$ sinon en imposant la linéarité?

En écrivant $\text{[math]}$ dans le message #6, tu as défini $\text{[math]}$ uniquement pour les tenseurs élémentaires. Tu ne peux même pas tester si $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ n'est pas défini.

Deux possibilités pour définir $\text{[math]}$ pour tous les tenseurs:
1) soit tu donnes une formule pour $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est un tenseur quelconque. On peut toujours écrire $\text{[math]}$ sous la forme $\text{[math]}$ mais attention, l'écriture n'est pas unique (puisque les tenseurs élémentaires forment une famille génératrice, cf. mon message précédent). Une fois que tu as une formule pour $\text{[math]}$ pour tous les tenseurs, tu peux/dois vérifier que $\text{[math]}$ est bien une application linéaire.
2) Tu utilises la propriété universelle du produit tensoriel (cf. message #14). Dans ce cas, il n'y a rien à vérifier, $\text{[math]}$ sera automatiquement linéaire.

Cordialement

**taladris** · 08/08/2012, 07h31

Envoyé par taladris

Comme E est un espace vectoriel réel, on travaille dans la catégorie des $\text{[math]}$ -modules.

Autre coquille: il fallait lire $\text{[math]}$ -modules.

invite52487760 · 08/08/2012, 21h23

Merci beaucoup pour toutes ces explications.

Cordialement.

Produit tensoriel