Produit tensoriel

[invitebb921944]

Bonjour,
On a introduit le produit tensoriel de deux espaces vectoriels en représentation linéaire des groupes finis et je dois démontrer que dans E x E (dim(E)=n) :
v x w = w x v ssi v et w sont colinéaires. (ou x représente le produit tensoriel).
L'implication réciproque est évidente mais pour la première je ne vois pas.
J'ai décomposé v x w et w x v dans une même base de E x E et j'en ai déduit... que les coefficients de ei x ej et de ej x ei sont les mêmes... (les ek représentent les éléments d'une base de E)
Je ne vois pas trop ou aller !

Merci pour votre aide !
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[invite57a1e779]

Bonjour Ganash,

Si et sont linéairement indépendants, on complète en une base , et la forme permet de conclure.

[invitebb921944]

Merci bien God's Breath !
Je ne maitrise pas encore tout à fait les objets que je manipule mais je vais voir ce que je peux faire de cette jolie forme !

[invite57a1e779]

Bonjour Ganash,

Le principe est d'exhiber une forme bilinéaire telle que et , qui se factorise à travers le produit tensoriel en une forme linéaire telle que et ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Bonjour Ganash,

Le principe est d'exhiber une forme bilinéaire telle que et , qui se factorise à travers le produit tensoriel en une forme linéaire telle que et ...

Bonjour Ganash,

Si et sont linéairement indépendants, on complète en une base , et la forme permet de conclure.

Si j'ai bien compris, je commence par dire que est une base de . On peut alors considérer la forme suivante sur : et on obtient :
,
puis
.
C'est là qu'intervient la dépendance linéaire de v et w car s'ils étaient colinéaires, on aurait pour :
.
On peut enfin conclure que puisque les deux tenseurs élémentaires considérés ont une image différente par notre forme linéaire, ils sont différents, ce qui est la contraposée de l'implication à démontrer.

J'ai bon ?