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Produit tensoriel



  1. #1
    invite43219988

    Produit tensoriel


    ------

    Bonjour,
    On a introduit le produit tensoriel de deux espaces vectoriels en représentation linéaire des groupes finis et je dois démontrer que dans E x E (dim(E)=n) :
    v x w = w x v ssi v et w sont colinéaires. (ou x représente le produit tensoriel).
    L'implication réciproque est évidente mais pour la première je ne vois pas.
    J'ai décomposé v x w et w x v dans une même base de E x E et j'en ai déduit... que les coefficients de ei x ej et de ej x ei sont les mêmes... (les ek représentent les éléments d'une base de E)
    Je ne vois pas trop ou aller !

    Merci pour votre aide !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Produit tensoriel

    Bonjour Ganash,

    Si et sont linéairement indépendants, on complète en une base , et la forme permet de conclure.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    invite43219988

    Re : Produit tensoriel

    Merci bien God's Breath !
    Je ne maitrise pas encore tout à fait les objets que je manipule mais je vais voir ce que je peux faire de cette jolie forme !

  5. #4
    God's Breath

    Re : Produit tensoriel

    Bonjour Ganash,

    Le principe est d'exhiber une forme bilinéaire telle que et , qui se factorise à travers le produit tensoriel en une forme linéaire telle que et ...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite43219988

    Re : Produit tensoriel

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Bonjour Ganash,

    Le principe est d'exhiber une forme bilinéaire telle que et , qui se factorise à travers le produit tensoriel en une forme linéaire telle que et ...
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Bonjour Ganash,

    Si et sont linéairement indépendants, on complète en une base , et la forme permet de conclure.
    Si j'ai bien compris, je commence par dire que est une base de . On peut alors considérer la forme suivante sur : et on obtient :
    ,
    puis
    .
    C'est là qu'intervient la dépendance linéaire de v et w car s'ils étaient colinéaires, on aurait pour :
    .
    On peut enfin conclure que puisque les deux tenseurs élémentaires considérés ont une image différente par notre forme linéaire, ils sont différents, ce qui est la contraposée de l'implication à démontrer.

    J'ai bon ?

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