Produit tensoriel : applications

**martini_bird** · 20/03/2006, 21h11

Salut,

le problème de découvrir des choses dans des bouquins c'est que l'on se forge parfois une mauvaise idée des concepts... Je sollicite donc les bonnes âmes pour me reprendre si je fais fausse route.

Mon problème concerne le produit tensoriel à travers deux questions :

Extension des scalaires
Soit $\text{[math]}$ un morphisme d'anneaux (unitaires) et $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ -module. Le $\text{[math]}$ -module $\text{[math]}$ obtenu par extension des scalaires est-il $\text{[math]}$ ?

"Lifting" d'idéaux
Soit $\text{[math]}$ une extension de corps, $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ) l'anneau des entiers de $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ). Pour tout idéal $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , on considère le plus petit idéal $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ qui contienne $\text{[math]}$ (pour ceux qui connaissent, $\text{[math]}$ , l'image de $\text{[math]}$ par l'homomorphisme d'injection $\text{[math]}$ ). Swinnerton-Dyer (A brief guide to algebraic number theory) dit que l'on aurait pu définir $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .

Est-ce que dans ce cas $\text{[math]}$ n'est pas tout simplement $\text{[math]}$ ?

Merci à vous.

invite6de5f0ac · 20/03/2006, 21h30

Envoyé par martini_bird

Extension des scalaires
Soit $\text{[math]}$ un morphisme d'anneaux (unitaires) et $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ -module. Le $\text{[math]}$ -module $\text{[math]}$ obtenu par extension des scalaires est-il $\text{[math]}$ ?

Oui. Voir Bourbaki, "Algèbre, Chapitre 2: Algèbre Linéaire", §5, n°1. (entre autres, bien sûr, mais ça fait toujours plus chic de s'appuyer sur Bourbaki). Ça provient en fait de l'universalité du produit tensoriel (si c'était autre chose que $\text{[math]}$ ça lui serait de toutes façons canoniquement isomorphe).

Pour la deuxième question, je regarde de plus près, et j'essaye de trouver une référence plus accessible. Physiquement, je veux dire.

-- françois

**Gwyddon** · 20/03/2006, 22h41

Salut martini,

Sans a priori se baser sur les produits tensoriels, j'aurais tendance à être d'accord avec toi, puisque c'est exactement le plus petit idéal qui nous permet de tomber sur A.

Je sais, ce n'est pas constructif comme remarque...

Julien

invite6de5f0ac · 20/03/2006, 22h49

Pour la question du relèvement des idéaux ("lifting", c'est ma mère qui s'est offert ça pour ses 70 balais

), j'ai un petit problème de vocabulaire.

La situation usuelle est la suivante:

Un anneau A, a pour corps des fractions k. Et on cherche à caractériser la fermeture intégrale de A, dans une extension algébrique K/k. Ou peut-être seulement une extension finie?

Dans toutes les situations analogues, il existe des résultats de relèvement des idéaux. Mais ils varient (assez peu, en fait) selon les hypothèses que l'on fait sur A, et sur ce que l'on autorise à l'extension K/k.

Personnellement, j'utilise beaucoup le bouquin de Roger DESCOMBES, "Éléments de Théorie des Nombres", chez PUF (un grand classique universitaire!), mais on peut trouver toutes les infos chez Borevitch et Shafaravitch, et plein d'autres... il semble que le relèvement d'une idée (pas forcément d'un idéal

) dépende beaucoup de l'état du mathématicien au réveil.

Je pense que ce que tu énonces est correct, mais sous quelles hypothèses, et, pire, quelles définitions? les plus couramment acceptées (ce qui me semble le plus raisonnable)? ou, comme souvent en Théorie des Nombres, les mêmes "modulo" une hypothèse qui permet de soutenir sa thèse dans les délais impartis?

Tiens, je lance un nouveau thread à côté pour ne pas polluer celui-ci.

Mais, sincèrement, si tu pouvais me préciser dans quel cadre exact du travailles, je te serais certainement plus utile.

Cordialement,

françois

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**martini_bird** · 20/03/2006, 23h04

Salut,

merci François pour la 1) : malheureusement la bibliothèque de maths la plus proche de chez moi est "un peu" loin et les Bourbaki sont "un peu" chers ...

Mais bon, visiblement, je ne suis pas trop à côté de la plaque, ce qui me rassure.

Merci Julien : au moins, je me sens moins seul dans mes erreurs éventuelles.

si tu pouvais me préciser dans quel cadre exact du travailles, je te serais certainement plus utile.

Oui désolé, K et k sont des corps de nombres algébriques, autrement dit des extensions de Q, non nécessairement finies, bien que ce soit souvent le cas.

Sincèrement.

PS : relèvement est en effet plus français.

invite6de5f0ac · 20/03/2006, 23h37

Envoyé par 09Jul85

Salut martini,

Sans a priori se baser sur les produits tensoriels, j'aurais tendance à être d'accord avec toi, puisque c'est exactement le plus petit idéal qui nous permet de tomber sur A.

Je sais, ce n'est pas constructif comme remarque...

Julien

Si, c'est constructif... Si tu cherches à expliciter "le plus petit idéal" tu te rendras très vite compte qu'il n'est pas vraiment unique -- en fait, qu'il ne peut l'être qu'à isomorphisme canonique près. C'est précisément ce qui s'appelle un élément universel. Si tu as le temps, jette un coup d'oeil sur un cours de théorie des catégories, de niveau le plus élémentaire possible: tu verras que ce genre de raisonnement est tellement fréquent que ça vaut le coup de l'écrire une fois pour toutes, et de le considérer comme acquis.

-- françois

invite6de5f0ac · 20/03/2006, 23h40

Envoyé par martini_bird

Salut,

merci François pour la 1) : malheureusement la bibliothèque de maths la plus proche de chez moi est "un peu" loin et les Bourbaki sont "un peu" chers ...

Mais bon, visiblement, je ne suis pas trop à côté de la plaque, ce qui me rassure.

Merci Julien : au moins, je me sens moins seul dans mes erreurs éventuelles.

Oui désolé, K et k sont des corps de nombres algébriques, autrement dit des extensions de Q, non nécessairement finies, bien que ce soit souvent le cas.

Sincèrement.

PS : relèvement est en effet plus français.

Depuis Internet, on peut accéder facilement à des bouquins de bon niveau, absolument gratos. Et les Bourbaki ne sont pas faits pour être achetés par un particulier, j'ai seulement eu la chance de récupérer une bonne partie de la bibliothèque mathématique de la boîte où je bossais quand ils ont été obligés de mettre la clé sous la porte.

Sur le détail de tes hypothèses, OK, c'est plus clair, je vais pouvoir te trouver des références précises. Mais ça restera des très très grands classiques, à ce niveau-là!

-- françois

invite6de5f0ac · 20/03/2006, 23h57

Envoyé par martini_bird

Oui désolé, K et k sont des corps de nombres algébriques, autrement dit des extensions de Q, non nécessairement finies, bien que ce soit souvent le cas.

Bon exemple,

Descombes définit (Déf.5.2.7 p.146): "On appelle corps de nombres algébriques, ou plus brièvement corps de nombres, toute extension finie du corps des rationnels."

Et le fait que l'extension soit finie ou non suffit à valider ou à invalider tout un tas de résultats qui s'ensuivent...

-- françois

**martini_bird** · 21/03/2006, 10h39

Salut,

désolé, je n'étais plus tout là hier soir...

Ok pour extension finie.

Envoyé par martini_bird

Est-ce que dans ce cas $\text{[math]}$ n'est pas tout simplement $\text{[math]}$ ?

Si j'ai bien compris, c'est faux en général mais dans des cas particuliers, on peut procéder comme l'a dit Julien car il y a unicité ?

Merci.

invite6de5f0ac · 21/03/2006, 11h13

Envoyé par martini_bird

Salut,

désolé, je n'étais plus tout là hier soir...

Ok pour extension finie.

Si j'ai bien compris, c'est faux en général mais dans des cas particuliers, on peut procéder comme l'a dit Julien car il y a unicité ?

Merci.

C'est faux en général, sinon ça voudrait dire que $\text{[math]}$ , autrement dit que $\text{[math]}$ engendre (suffit à engendrer) $\text{[math]}$ déjà sur $\text{[math]}$ . Et le produit tensoriel n'aurait pas été inventé...

Dans quels cas ça marche, là, faut que je regarde de plus près. Mais ça ne doit pas être courant courant, vu que mes bouquins n'en parlent pas, même en exo.

Cordialement,

-- françois

**martini_bird** · 21/03/2006, 18h52

Salut,

Envoyé par fderwelt

autrement dit que $\text{[math]}$ engendre (suffit à engendrer) $\text{[math]}$ déjà sur $\text{[math]}$ .

Sur $\text{[math]}$ , non?

Sinon, je pense comprendre un peu mieux...

Test : à la première page du bouquin de Swinnerton-Dyer, je trouve (avec les mêmes notations)

$\text{[math]}$ , so that each $\text{[math]}$ in $\text{[math]}$ can be written as $\text{[math]}$ where $\text{[math]}$ is in $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ is an integer in $\text{[math]}$ .

Mais celà ne veut pas dire que $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est en général trop "petit" ( $\text{[math]}$ ne contient pas tous les inverses de $\text{[math]}$ , mais en prenant le produit tensoriel, ils apparaissent naturellement). J'ai bon?

Merci pour ta patience !

invite6de5f0ac · 21/03/2006, 18h55

Envoyé par martini_bird

Salut,

Sur $\text{[math]}$ , non?

Sinon, je pense comprendre un peu mieux...

Test : à la première page du bouquin de Swinnerton-Dyer, je trouve (avec les mêmes notations)

Mais celà ne veut pas dire que $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est en général trop "petit" ( $\text{[math]}$ ne contient pas tous les inverses de $\text{[math]}$ , mais en prenant le produit tensoriel, ils apparaissent naturellement). J'ai bon?

Merci pour ta patience !

C'est exactement ça. Désolé pour la faute de frappe, pour une fois que j'écrivais du TeX...

-- françois

**martini_bird** · 21/03/2006, 19h07

Ok, un grand MERCI !

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