Commutateur et dérivation dans un anneau

[Scorp]

Bonjour,

Je suis tombé (en étudiant la MQ) sur les commutateurs.
J'ai voulu en apprendre plus. Je pense avoir compris la notion, cependant il y a un point que je n'arrive pas à éclairsir.

Dans un anneau A, on définit le commutateur de a et b par [a,b]=ab-ba
On voit facilement que le commutateur vérifie les relations d'algèbre de Lie (antisymétrique, relation de Jacobi etc...)
Mais il y a également d'autres propriétés dont :
[a,bc]=[a,b]c+b[a,c] (jusque là, je suis ok)

Ce qui me gène, c'est l'interprétation que l'on en fait:
Je cite : "Cette relation peut aussi être interprétée comme la règle de dérivation d'un produit d'une application Da : A->A donnée par b->[a,b]. En d'autres termes, l'application Da définit une dérivation sur l'anneau A"

Voila, j'ai du mal à recoler les morceaux. Outre la ressemblance avec la formule dérivation de produit d'application, ca semble assez loin de la notion habutelle de dérivée, surtout qu'on l'interprète uniquement d'après une relation.
J'aimerais donc en savoir un peu plus sur comment justifier ceci et quel sens peut on donner à cette "dérivation". Comment l'utilise-t-on en pratique (est-elle utile en MQ par exemple ?)
Merci de votre aide
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[Thorin]

Pour savoir si elle est utile en MQ, tu devrais poster sur le forum de physique.

Pour le reste, c'est je pense la même chose que le produit scalaire sur un ev qui n'est qu'une application bilinéaire symétrique vérifiant certaines propriétés : le produit scalaire habituellement utilisé n'en est qu'un exemple, et a bien peu de rapport avec les autres produits scalaires qu'on peut imaginer dans d'autres ev.
Et donc je doute que ta question ait une réponse autre que "ce n'est qu'une généralisation basée uniquement sur le fait que la formule est la même."

[invite986312212]

salut,

la notion de dérivation dans les anneaux est purement algébrique. C'est une application qui vérifie f(ab)=f(a)b+af(b). La dérivation usuelle est une dérivation dans l'anneau des fonctions réelles.

[Scorp]

Pour savoir si elle est utile en MQ, tu devrais poster sur le forum de physique.

Pour le reste, c'est je pense la même chose que le produit scalaire sur un ev qui n'est qu'une application bilinéaire symétrique vérifiant certaines propriétés : le produit scalaire habituellement utilisé n'en est qu'un exemple, et a bien peu de rapport avec les autres produits scalaires qu'on peut imaginer dans d'autres ev.
Et donc je doute que ta question ait une réponse autre que "ce n'est qu'une généralisation basée uniquement sur le fait que la formule est la même."

Ok, je m'attendais à ce genre de réponse. Je voulais juste être sûr qu'il n'y avais pas quelque chose de plus profond qui se cachait derière.
Apparement non
Meric pour ta définition ambrosio

[A voir en vidéo sur Futura]