Cardinal d'un groupe construit a partir d'une courbe elliptique

[invite5a9a6b90]

bonjour,
j'aimerais savoir s'il y'a une méthode pour déterminer le cardinal d'un groupe construit a partir d'une courbe elliptique sans dresser un tableau et calculer pour chaque élément le symbole de Légendre.
Par exemple la courbe elliptique epsilon définie sur le corps F11 par l'équation :
epsilon : y²=x^3+2x+2

L'exercice demande de démontrer que le cardinal est 9 et qu'il n'y a pas de point d'ordre 2 (la question est sur 1.5 point sur 20, c'est pour cela que je pense qu'il y a une autre méthode car drésser le tableau prendrait trop de temps pour seulement 1 point)
Pour la deuxieme question j'ai pu en déduire qu'il n'y a pas de points d'ordre 2 car d'après Lagrange l'ordre du sous groupe doit être un diviseur du cardinal de E or 2 ne divise pas 9 (dites moi si je me trompe)

merci d'avance
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[invite57a1e779]

Pour l'ordre du groupe, modulo 11, il y a peu de calculs !

Pour les éléments d'ordre 2, le théorème de Lagrange est le bon argument.

[invite5a9a6b90]

Donc obligé de passer par un tableau ?

[invite57a1e779]

Disons que si l'on me posait la question pour F₉₈₅₁, je réfléchirais pour trouver un argument théorique et obtenir la réponse plus rapidement qu'avec un tableau.

Ici, on a besoin d'un tableau pour les valeurs de et un autre pour les carrés. C'est vite fait :





On voit que la courbe est constituée de 8 points pour , donc que le groupe est d'ordre 9.

[A voir en vidéo sur Futura]