la continuité en un intervalle

[invitee85a7c98]

Bonsoir
Concérnant la définition de la continuité en un point a, il faut que la limite a droite et a gauche égale a f(a) mais j'ai un probème dans la continuité dans un intervale fermé [a,b] ou la fonction est définie dans ce segment est-ce qu'on peut vérifié la continuite en a et b meme si on peut pas prendre la limite a gauche de a et a droite de b .
on prenant par exemple la fonction racine(x) pourquoi on dit qu'elle est continue en 0 or on peut pas vérifier la limite a gauche car la fonction n'est pas définie
a gauche de 0 .
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[PlaneteF]

Bonsoir,

on prenant par exemple la fonction racine(x) pourquoi on dit qu'elle est continue en 0 or on peut pas vérifier la limite a gauche car la fonction n'est pas définie
a gauche de 0 .

Il n'y a aucune question à se poser à gauche de au sujet de cette fonction, ni une question de continuité, ni une question de n'importe quoi d'autre, puisque la fonction n'y est même pas définie, ... donc rien à vérifier. Cela n'a tout simplement pas de sens ici, ... c'est comme si l'on demandait de démontrer que cette fonction racine carrée serait croissante ou pas sur !

Cordialement

[PlaneteF]

... je rajoute :

Concérnant la définition de la continuité en un point a, il faut que la limite a droite et a gauche égale a f(a)

En fait cette définition que tu donnes n'est pas suffisamment précise. On peut la compléter (en bleu) par exemple comme ceci :

Concérnant la définition de la continuité en un point a, il faut et il suffit que la limite a droite, si la fonction y est définie, et a gauche, si la fonction y est définie, soient égales a f(a)

Cdt

[PlaneteF]

... A noter aussi que la définition ci-dessus, même amendée avec le texte en bleu, n'est pas une façon "propre" et rigoureuse de formuler une définition. Pour procéder selon les règles de l'art, on pose d'abord les conditions d'utilisation de la définition comme par exemple : Soient un intervalle réel, une fonction définie sur à valeurs dans et un élément de . Et c'est seulment une fois que l'on a bien "planté le décor", que l'on peut embrayer sur l'explicitation de la définition : On dit que est continue en ssi etc ...

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee85a7c98]

oui pour la fonction racine(x) est définie en 0 et continue a droite de 0 donc on considére continue en 0 meme si il n'a pas de limite en 0 moins
car la définition de la continuite en un point est la limite a gauche = la limite a droite = f(0)

[invite57a1e779]

la définition de la continuite en un point est la limite a gauche = la limite a droite = f(0)

Non, la définition de la continuité en un point est : la fonction admet en ce point une limite qui est la valeur de la fonction en ce point.

[PlaneteF]

oui pour la fonction racine(x) est définie en 0 et continue a droite de 0 donc on considére continue en 0 meme si il n'a pas de limite en 0 moins
car la définition de la continuite en un point est la limite a gauche = la limite a droite = f(0)

Selon moi cette phrase est oxymoronique.

Cdt

[invite33c0645d]

Tout dépend du niveau. On peut d'abbord voir la continuité dans $\mathbb{R}$, puis s'intéresser aux espaces normés, puis comprendre qu'en réalité la continuité est un outil topologique. Ainsi, on parle de fonction continue sur un OUVERT (ce qui n'est pas le cas de [0; +\infty[ pour la fonction racine par exemple). En revanche, on peut étendre ces notions, de continuité, lorsqu'elles ont un sens. Typiquement, la raciné carré d'un réel positif admet une limite à droite en 0, qui vaut bien la racine carée de 0; c'est pourquoi on dira que la racine carrée est continue. Si je ne me trompe pas il y a encore plus général, et pour cela il faut être bon algébriste pour comprendre la théorie des catégorie.

Remarque : Comment fait-on pour prouver que f est continue en a ssi, f est continue à gauche et à droite en a ?
Pour l'implication suffisante, on a besoin de prendre la limite à GAUCHE et à DROITE; ce qui impose à l'intervalle [c; c] d'être ouvert. Ainsi, comme ce fut écrit dans les précédents messages, la question n'a pas de sens...

[invitee85a7c98]

Merci Bcp pour votre aide
bah voila j'ai fait une petite recherche sur le net et j'ai trouver cette définition explicite de la continuité dans un intervalle fermer :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert non vide de R. On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
Cette définition comporte une petite ambiguïté pour les intervalles qui ne sont pas ouverts. Nous conviendrons qu'une fonction continue sur [a,b] est continue en tout point de ]a,b[ et que de plus, elle est continue à droite en $ a$ et à gauche en b.

[invite57a1e779]

MSoit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert non vide de R. On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I.

Encore faut-il savoir ce que veut dire « f est continue en tout point de I ».
La suite du texte prouve que l'auteur ne le sait pas :

Cette définition comporte une petite ambiguïté pour les intervalles qui ne sont pas ouverts.

Il n'y a aucune ambiguïté, la définition est parfaitement claire, à condition de savoir ce que veut dire « f est continue en tout point de I ».

[invitee85a7c98]

god bearth est-ce que tu peut m'éxplique pourquoi stp car je pense que l'auteur a raison puisque on peut pas vérifier la continuité dans l'éxtrémite de [a,b] car il peut que la fonction ne sera pas définie hors cet intervale donc on peut pas calculer la limite a gauche de a ou a droite de b pour dire que le fonction est continue en a et en b .

[invite57a1e779]

Soient un intervalle de et une fonction définie de dans .

1. On dit que est continue en un point de , si :



2. On dit que est continue sur , si est continue en tout point de :



La définition est simple et ne distingue pas les intervalles ouverts des intervalles fermés, et ne définit pas la continuité en un point de façon différente suivant qu'il s'agit d'une borne ou d'un point intérieur à l'intervalle.

Le point 2 est exactement le texte cité, et il n'y a aucune d'ambiguïté.

En particulier, la définition de la continuité n'a rien à voir avec la continuité à droite et la continuité à gauche.

[invite33c0645d]

Soient un intervalle de et une fonction définie de dans .

1. On dit que est continue en un point de , si :

Cette phrase n'a aucun sens lorsque I est un intervalle fermé et que a est une borne de l'intervalle I. Le problème est toujours le même

permet à x d'être proche de $a$ par valeur à la fois inférieure ET supérieure. Mais si $a$ est la borne inférieure de l'intervalle I (qu'on suppose fermé), l'implication n'a aucun sens... en effet, f n'est pas définie au point $a-\eta/2$...

edit :
cf mon précédent message

[invite57a1e779]

permet à x d'être proche de $a$ par valeur à la fois inférieure ET supérieure.

Non, l'inégalité est une limitation des valeurs de qui appartient à l'intervalle d'après la quantification qui précède ; écrire cette inégalité ne nécessite absolument pas qu'il existe des points à droite ou à gauche de .
En particulier la fonction peut être définie sur l'intervalle seulement, elle est nécessairement continue.

Il faudrait revoir la définition de l'implication ; lorsque j'écris que la définition de est : , il est possible que soit l'ensemble vide, auquel cas l'inclusion a lieu pour tout ensemble et pourtant l'antécédent de l'implication n'est satisfait par aucun .

On est bien obligé d'avoir une définition générale qui puisse fonctionner lorsque l'intervalle est compact, cas tout aussi intéressant que l'intervalle ouvert, sinon on peut dire adieu au théorème des bornes atteintes et au théorème de Heine.

[PlaneteF]

Cette phrase n'a aucun sens lorsque I est un intervalle fermé et que a est une borne de l'intervalle I.

Pour illustrer ce qui vient d'être expliqué par God's Breath, cf. le lien ci-dessous au Paragraphe 2.1 (page3) / Exemple / Démonstration / Continuité en 0

http://gilles.costantini.pagesperso-...ers/cont03.pdf

Cordialement

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

Bonsoir
-Concérnant la définition de la continuité en un point a, il faut que la limite a droite et a gauche égale a f(a) mais j'ai un probème dans la continuité dans un intervale fermé [a,b] ou la fonction est définie dans ce segment est-ce qu'on peut vérifié la continuite en a et b meme si on peut pas prendre la limite a gauche de a et a droite de b .
on prenant par exemple la fonction racine(x) pourquoi on dit qu'elle est continue en 0 or on peut pas vérifier la limite a gauche car la fonction n'est pas définie
a gauche de 0 .

-En effet une fonction définit sur à valeur dans tel que , on pourra dire que est continue à droite de et à gauche de car les limites à droite de et à gauche de existent , par contre n'est pas continue en et simplement n'est pas définie à gauche et n'est pas aussi définie à droite .Deux réponses distinctes .
-Aussi est continue à l’intérieur de c'est à dire mais elle ne l'est pas sur [a,b].
En ce qui concerne et à mon avis la définition de la continuité y 'a plusieurs définitions et ça été soulever dans plusieurs discussion similaires , y'a aussi le théorème que je le qualifie de chirurgicale utiliser par God's Breath très précis encore , y'a d'autre définition qui utilise un lourds bagages en math (utilisation des notions topologiques).


Amicalement

[invite57a1e779]

M'enfin !!!

La fonction est continue sur .

Cette fonction est continue sur un segment, donc elle est bornée et elle atteint ses bornes, et de plus elle est uniformément continue.

Il n'y a pas à savoir si elle est définie ou non sur et parce que, du point de vue de la fonction, ces intervalles n'existent pas.

[PlaneteF]

-En effet une fonction définit sur à valeur dans tel que , on pourra dire que est continue à droite de et à gauche de car les limites à droite de et à gauche de existent , par contre n'est pas continue en et simplement n'est pas définie à gauche et n'est pas aussi définie à droite .

Salut topmath,

Non, non, c'est faux, ... relis bien tous les messages précédents, ... et tant qu'on y est, je remets dans la citation ci-dessous l'exemple que j'avais déjà donné dans un précédent message :

Pour illustrer ce qui vient d'être expliqué par God's Breath, cf. le lien ci-dessous au Paragraphe 2.1 (page3) / Exemple / Démonstration / Continuité en 0

http://gilles.costantini.pagesperso-...ers/cont03.pdf

Cordialement

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :
Salut PlaneteF , effectivement je me suis précipiter un peut j'ai relit toute les définition sur le pdf merci encore à vous et God's Breath .

Cordialement

[invite33c0645d]

HONTE à moi, ... je me suis trompé comme un imbécile... En effet, je rectifie le tire. La définition de continuité en terme "espilion/delta", autorise la notion de continuité sur un intervalle fermé. Cette notion de continuité est toujorus justifiée sur des espaces métriques.

La remarque que je faisais disait qu'au vu des mathématiques actuelles, la continuité "doit" (le mot est sans doute un peu trop fort) être vue comme une notion topologique! Autrement dit,

est continue lorsque
,

Autrement dit, on définit une application continue sur un ouvert (X).

Pour des raisons d'habtude, on munit "toujours" $\mathbb{R}$ d'une topologie induite par une métrique. On définit alors une application continue sur un compact comme la restriction d'une application continue sur un ouvert contenant ce même compact. Le théorème de Heine est immédiatement vérifié par définition de la compacité (ou presque).

Je ne sais pas comment détailler mon propos sans faire un article de vingt pages... Je comprend bien que la définition en "epsilon/delta", est valable pour des intervalles fermés, et je n'essais pas de dire que cela est faux (contrairement à mon précédent message où j'ai raconté nimporte quoi...). En s'autorisant, la définition de continuité sur un fermé, on perd la propriété locale de continuité (à cause des bords). Je vais donner un exemple pour essayer de toucher la philosophie du problème

prenons un bon exemple de fonction continue sur $\mathbb{R}$. f(x) = x. On vérifie très facilement que f est continue au sens "espilon/delta".
Soit maintenant g définie sur [0; 1] par g(x) = x. Il est clair que $f$ et $g$ coïncident sur [0; 1]. Pour autant la notion de continuité de f en 0 et celle de g en 0 n'est pas la même, et c'est très gênant (enfin pour moi me diriez-vous). Bref, si vraiment vous allez dans mon sens, mais que vous n'êtes toujours pas convaincus, je tenterai d'expliquer en 20 pages mon propos, ou plus simplement je donnerai des références de livres de topologie.

J'espère que j'arrive bien à transmettre ma pensée.