démonstration implication continuité intervalle borné , uniforme continuité

[invite76db3c86]

Bonjour ,

comme le demande cet exercice :


je dois démontrer que , soit f:[a,b]--> IR une fonction continue , cette fonction est uniformément continue.


1ere étape : Par l'absurde , on suppose que f n'est pas uniformément continue et on réécrit cette proposition sous la forme de suites convergentes , tandis que l'écart entre f(xn) et f(yn) ne peut converger.
En réécrivant la négation de "f uniformément continue" , c'est immédiat ...

Seconde étape : il faut là montrer qu'il existe une "extraction" Phi : IN-->IN strictement croissante tq x_phi(n) et y_phi(n) convergent vers la meme limite l de IR ...
Sur ce , je commence à utiliser le théorème de Bolzano Weirestrass pour montrer qu'il existe Phi et Phi' tq x_phi(n) converge vers l de IR et y_phi'(n) converge vers l' de IR ...
Seulement (et je sais bien que c'est par là que se trouve toute la difficulté de l'exercice) , je ne vois pas du tout comment ces deux suite x_phi(n) et y_phi(n) convergeraient vers la même limite .
On a :
pour tout n , l x_n - y_n l < 1/n
par passage à la limite , on aurait (?) l= l'.
D'où x_phi(n) et y_phi'(n) convergeant vers la même limite ... Je suis donc en train de chercher une nouvelle extraction PHI à partir de phi et de phi'...
Faut il la construire par récurrence ? j'ai aussi penser à la composée phi o phi'..

Merci d'avance
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[invite76db3c86]

du nouveau : en écrivant la définition de x_phi(n) et y_phi'(n) convergeant vers l , j'ai trouvé que l était valeur d'adéhrence de x_phi'(n).
(pour tout N de IN , on pose n_0 = phi(N) >N) Comme x_n converge ... x_n de Cauchy , puis x_phi'(n) converge vers l ... vrai ?

[invite76db3c86]

et pour conclure , on utilise l'absurdité suivante : d'un coté , on a deux suites convergeant vers la meme limite , de l'autre , une fonction continue , qui arrive à prendre deux limites différentes lorsque xn et yn se rapprochent ... absurde (définition de la continuité par les suites) ...

Mais pour le point précédent , rien de moins sur ...

[invite57a1e779]

Sur ce , je commence à utiliser le théorème de Bolzano Weirestrass pour montrer qu'il existe Phi et Phi' tq x_phi(n) converge vers l de IR et y_phi'(n) converge vers l' de IR ...

Bonjour, on sait que la suite de terme général converge vers 0.
La suite extraite qui converge vers suffit à régler le problème : la suite extraite converge aussi vers , point n'est besoin de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76db3c86]

Bonjour, on sait que la suite de terme général converge vers 0.
La suite extraite qui converge vers suffit à régler le problème : la suite extraite converge aussi vers , point n'est besoin de .

Très bien merci pour cette réponses ... par contre deux nouvelles questions :

1. La première afin de m'assuerr que je visualise enfin à peu près l'uniforme continuité : est-ce que la continuité sur un ensemble borné fermé , et par conséquent (plus généralement) l'uniforme continuité , empeche la fonction de "séchapper" de toute ensemble borné (les valeurs de la fonctions sur [a,b] ) , i.e de tendre vers une limite non finie en un point de cette ensemble ? En effet , je voit que la preuve repose sur l'absurdité suivante (j'ai l'impression en tout cas) : le fait que la fonction soit continue sur cet intervalle fermé l'empeche de devenir "verticale" et de prendre des valeurs différentes en tendant vers une limite unique (donnée par la convergence des deux suites xn et yn) .
En revanche sur un ensemble non borné , la fonction peut etre continue sans tendre vers une limite finie car rien ne dit que si les deux suites xn et yn , qui ne convergent pas forcément puisque elle peuvent se raprocher tout en tendant vers l'infini (le théorème de bolzano weirestrass ne s'appliquant plus) , tendent vers plus l'infini , on ne pourra rapprocher suffisament f(xn) et f(yn) dès que xn et yn sont assez proche ...
Est-ce une vision accetable de l'uniforme continuité ?

2. Il ya quelquechose qui me dérange un peu dans la dernière démonstration , mais c'est surtout parceque ca me dépasse : je trouve en effet assez transcendant le fait qu'une propriété concernant la fonction repose en majeure partie sur le théorème de bolzano weirestrass et la construction de deux suites ...
Après ca n'est qu'une question de "lecture" ... En me plongeant dans la démonstration , je voit clairement comment ces suites aident à démontrer une propriété sur cette fonction ...
Mais je trouve assez fort ...

[invite76db3c86]

Autre question : supposons que f soit continue sur un intervalle ouvert , pour simplifier [a,b[ ... supposons que f tendent vers +oo lorsque x tend vers b à gauche . alors f peut elle etre uniformément continue ? Sinon, son prolongement par continuité est uniformément continue non ?