Intervalle et continuité

[invite705d0470]

Bonsoir à tous !
Je dois absolument savoir démontrer pour demain l'équivalence suivante, mais seulement je ne suis pas certain de ma démo: je souhaite vous en faire part et surtout voir vos commentaires.
Soit I une partie de R, on a "I est un intervalle de f est constante"
Bon, dans le sens direct : Soit I un intervalle et . D'après le TVI, f(I) est un intervalle, or . Par suite, on a bien f constante sur I.

Réciproquement, montrons C'est bien évidemment ici que mes certitudes flanchent ^^
J'avoue être un peu perdu sur ce coup là.
Puisque la propriété commence par le quantificateur universel, je me dis qu'il est peut être plus simple de chercher à prouver sa contraposée.

Merci de toute aide possible, je suis prêt à réfléchir !!
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[invite705d0470]

:/
S'il vous plait

[inviteea028771]

Tout dépend de ce que tu sais/peux utiliser...

Est ce que tu peux te servir du fait que les intervalles de R sont les connexes de R?

Si oui, quelle caractérisation d'un connexe peux tu utiliser?

[invite3240c37d]

Si n'est pas un intervalle, alors il existe tels que . On note .
Je te laisse arriver à une contradiction en définissant une fonction continue mais non-constante

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Merci beaucoup de vos réponses, ça me fait plaisir de voir que des gens s'interessent aussi aux cas désepérés
Pfff.
Pour Tryss, je ne sais pas ce que sont des connexes, mais par contre nous avons vu l'équivalence dans R entre être un intervalle et être un convexe. ( Ma première idée a été de montrer que I est un intervalle de la façon suivante: en posant , et il "suffisait de montrer que c était un élément de I).

MMu, à l'aide ! :/
J'ai aussi voulu faire celà, mais j'ai du mal à trouver une fonction adéquate. Sans doute parce que le "saut" du 0 au 1 que, dans mon esprit, doit faire la fonction en b me trouble énormément. J'ai clairement l'impression de ne pas saisir l'essence de la notion de continuité !
Pour que f ne soit pas constante, je ne vois qu'un cas: f=0 sur et 1 sur (ou l'inverse, bien sûr !).
convient-elle ?
Je suis chagriné par deux points de vues qui me troublent: soit elle convient, ce qui signifie que f est continue sur la réunion de deux intervalles disjoints car continue que chacun d'eux séparément, soit elle ne l'est pas car elle n'admet aucune limite en b. Mais comme b n'est pas un élément de I ...

[invite705d0470]

Parce que, et . (et f non constante sur I, bien sûr)
La limite n'existe pas, mais ce n'est pas un problème puisqu'on étudie la continuité sur I uniquement, c'est ça ?

[invite705d0470]

j'aimerai bien avoir votre avis ^^

[invite705d0470]

Un oui me suffira

[Seirios]

L'idée est bien celle-ci. Il faut tout de même préciser que la limite est prise à droite ou à gauche sur les éventuelles extrémités de ou .

[invite705d0470]

Oki

Merci beaucoup