Bonjour,
Soit n un naturel supérieur à 1, et x1, x2, etc des réels.
Si x1² + x2² + ... + xn² = x1x2 + x2x3 + ... + xnx1, alors
x1 = x2 = ... = xn .
Je cherche à démontrer si c'est vrai. C'est évident dans l'autre sens, et là, a priori, c'est vrai aussi.
Je ne cherche pas la réponse, mais une piste pour commencer la démonstration. On m'a dit de chercher une somme de carrés égale à zéro, mais je bloque.
Merci.
J'ai une piste mais je cherche la solution comme toi...
On fait apparaître les doubles produits:
x1² + x2² + ... + xn² - x1x2 - x2x3 - ... - xnx1=0
*2 des deux côtés
x1²-2x1x2+x2²+x2²-2x2x3+x3²...=0
(x1-x2)²+(x2-x3)²+...+(xn-x1)²=0
Et de là je pense qu'on peut conclure directement
Et si tu le démontrais par récurrenc ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
J'avais fait apparaître les double produits, mais pas suivi quand tu fais *2 des deux côtés.
Par contre, la somme des carrés que tu trouves est de la forme que j'imaginais. Donc en fait, il me manquait une étape dans ma démonstration
D'ailleurs, c'est mon grand problème en mathématiques ; mon raisonnement saute des étapes et quand je veux le reprendre pour l'expliquer, ça coince.
Evidemment, quand on a (x1-x2)²+(x2-x3)²+...+(xn-x1)²=0, on a forcément x1-x2 = x2-x3 = ... = xn-x1 !
