Equivalences de sommes.
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Equivalences de sommes.



  1. #1
    invite436605ae

    Equivalences de sommes.


    ------

    Bonjour,

    Soit n un naturel supérieur à 1, et x1, x2, etc des réels.
    Si x1² + x2² + ... + xn² = x1x2 + x2x3 + ... + xnx1, alors
    x1 = x2 = ... = xn .

    Je cherche à démontrer si c'est vrai. C'est évident dans l'autre sens, et là, a priori, c'est vrai aussi.

    Je ne cherche pas la réponse, mais une piste pour commencer la démonstration. On m'a dit de chercher une somme de carrés égale à zéro, mais je bloque.

    Merci.

    -----

  2. #2
    Eogan

    Re : Equivalences de sommes.

    J'ai une piste mais je cherche la solution comme toi...
    On fait apparaître les doubles produits:
    x1² + x2² + ... + xn² - x1x2 - x2x3 - ... - xnx1=0
    *2 des deux côtés
    x1²-2x1x2+x2²+x2²-2x2x3+x3²...=0
    (x1-x2)²+(x2-x3)²+...+(xn-x1)²=0
    Et de là je pense qu'on peut conclure directement

  3. #3
    shokin

    Re : Equivalences de sommes.

    Et si tu le démontrais par récurrenc ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  4. #4
    invite436605ae

    Re : Equivalences de sommes.

    J'avais fait apparaître les double produits, mais pas suivi quand tu fais *2 des deux côtés.

    Par contre, la somme des carrés que tu trouves est de la forme que j'imaginais. Donc en fait, il me manquait une étape dans ma démonstration
    D'ailleurs, c'est mon grand problème en mathématiques ; mon raisonnement saute des étapes et quand je veux le reprendre pour l'expliquer, ça coince.

    Evidemment, quand on a (x1-x2)²+(x2-x3)²+...+(xn-x1)²=0, on a forcément x1-x2 = x2-x3 = ... = xn-x1 !

  5. A voir en vidéo sur Futura

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