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Question en algèbre linéaire!



  1. #1
    xMrDibbsx

    Question en algèbre linéaire!


    ------

    Bonjour! Bon j'ai un exercice à faire mais j'ai un peu de misère...je pense que ma façon de résoudre est bonne, mais parcontre les réponses du corrigé diffèrent.. peut-être le corrigé est erroné, est-il possible d'avoir votre avis ? Ou peut-etre me corriger dans ma démarche ? MErci!!!

    Voici la question :

    Et la réponse :


    Ma démarche :


    Meme si je normalise la base.. je n'arrive toujours pas à ma réponse.. des idées, qqn ?

    -----

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  3. #2
    fderwelt

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Bonjour,

    Pour l'orthogonal de U c'est OK.

    Pour la base orthonormale, je n'ai pas vérifié le détail mais le raisonnement est correct. Quoi qu'il en soit, il ne faut pas t'attendre à avoir une solution unique: l'orthogonal de U est un plan, et il admet une infinité de bases orthonormales (qui se déduisent les unes des autres par transformation orthogonale du plan).

    Ce serait intéressant de voir comment ils arrivent à trouver une telle base dans le corrigé, probablement ils n'ont pas tout à fait le même raisonnement.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    xMrDibbsx

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Le seul hic c'est que le corrigé ne donne aucune démarche mais qu'une réponse...! et que j'ai un examen vendredi aussi..!! haha .... mais bon, n'hésitez pas a me transmettre vos suggestions!

  5. #4
    fderwelt

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Citation Envoyé par xMrDibbsx Voir le message
    Le seul hic c'est que le corrigé ne donne aucune démarche mais qu'une réponse...! et que j'ai un examen vendredi aussi..!! haha .... mais bon, n'hésitez pas a me transmettre vos suggestions!
    Rebonjour,

    Désolé, j'aurais dû bien lire avant de répondre.

    Pour l'orthogonal U° c'est bien OK (je note U° parce que LaTeX m'embête et que je ne sais pas faire le "T à l'envers").

    Mais la base trouvée n'est pas orthogonale! C'est quand même une base, et elle reste utilisable. D'autant que la démarche utilisée pour la trouver est simple est claire.

    Un bon truc à savoir: si a et b sont deux vecteurs qui forment une base d'un plan, et qui ont même norme, alors (a+b, a-b) est une base orthogonale.

    Donc, procéder en deux étapes: ramener les deux vecteurs à la même norme (par exemple en divisant chacun par sa norme, on a ainsi une base normée mais pas orthogonale). Puis former (a+b)/racine(2) et (a-b)/racine(2), qui forment alors une base orthonormale. Pas celle du corrigé, mais une qui répond à la question.

    Ici: avec -2i+j et -3i+k. On normalise, on trouve a = (-2i+j)/racine(5) et b=(-3i+k)/racine(10). Il n'y a plus qu'à additionner et à soustraire. Le résultat est assez moche, il traîne des racine(2), mais bon il est correct.

    Sinon je pense que dans le corrigé ils ont pris (2i-j) comme premier vecteur de base (c'est pareil que -2i+j) et qu'ils ont cherché un vecteur de U° orthogonal à celui-là, soit xi+yj+zk avec 2x-y=0 (orthogonalité) et x+2y+3z=0 (appartient à U°). Ensuite il n'y a plus qu'à normaliser.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  6. #5
    xMrDibbsx

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Je ne comprend pas pourquoi les 2 bases trouvées ne sont pas orthogonales ? Pourtant si on fait le produit scalaire, il est = 0, donc que ces 2 bases sont perpendiculaires entres elles... ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    fritzlm

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Bah non tes vecteurs ne sont pas orthogonaux... Comment tu calcules ton produit scalaire?

  9. Publicité
  10. #7
    fderwelt

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Citation Envoyé par xMrDibbsx Voir le message
    Je ne comprend pas pourquoi les 2 bases trouvées ne sont pas orthogonales ? Pourtant si on fait le produit scalaire, il est = 0, donc que ces 2 bases sont perpendiculaires entres elles... ?
    Bin... Ce n'est pas une base qui doit être orthogonale à une autre (ce qui neveut pas dire grand chose, soit dit en passant). C'est les deux vecteurs de base qui doivent être perpendiculaires entre eux, et avec -2i+j et -3i+k ça marche très très moyen...

    Pour info: (-2i+j , -3i+k) = -2 x -3 + 1 x 0 + 0 x 1 = 6 ≠ 0 (au moins dans R... )

    Ton problème vient du fait que tu as trouvé une base de U° par un raisonnement très simple et très "naturel", disons "direct". Et que trouver une base orthogonale (et, encore pire, orthonormale) ne fait qu'introduire de la complication.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  11. #8
    xMrDibbsx

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message

    Sinon je pense que dans le corrigé ils ont pris (2i-j) comme premier vecteur de base (c'est pareil que -2i+j) et qu'ils ont cherché un vecteur de U° orthogonal à celui-là, soit xi+yj+zk avec 2x-y=0 (orthogonalité) et x+2y+3z=0 (appartient à U°). Ensuite il n'y a plus qu'à normaliser.

    -- françois
    J'ai fais le produit vectoriel de 2i-j x i+2y+3z , ce qui me donne -3i-6j+5k ( donc ma réponse )...

    Puisqu'on cherche un base qui est orthogonal à 2x-y ainsi qu'a x+2y+3z, on peut faire le produit vectoriel pour aller chercher une trosième vecteur perpendiculaire aux 2 précédents. Puis ensuite on normalise. --- ( francois avais raison )

    Est-ce que mon explication est sensée ? Si j'écris cette démarche en exam ? Cé suffisant ou pas ?

    Merci

  12. #9
    fderwelt

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Citation Envoyé par xMrDibbsx Voir le message
    J'ai fais le produit vectoriel de 2i-j x i+2y+3z , ce qui me donne -3i-6j+5k ( donc ma réponse )...

    Puisqu'on cherche un base qui est orthogonal à 2x-y ainsi qu'a x+2y+3z, on peut faire le produit vectoriel pour aller chercher une trosième vecteur perpendiculaire aux 2 précédents. Puis ensuite on normalise. --- ( francois avais raison )

    Est-ce que mon explication est sensée ? Si j'écris cette démarche en exam ? Cé suffisant ou pas ?

    Merci
    Bonjour,

    Très bonne idée, le produit vectoriel! J'oubliais qu'on était en 3D...

    En exam ça devrait passer sans problème, il faudrait peut-être juste que tu dises que tu sais que le produit vectoriel est orthogonal aux deux vecteurs, et encore, tu n'es pas supposé re-rédiger le cours. Du moment que le raisonnement est OK je ne vois pas ce qu'il y a à redire.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  13. #10
    xMrDibbsx

    Re : Question en algèbre linéaire!

    Bah c'est mon premier exam à l'université ( polytechnique de montreal ) et on me dit que les profs sont vraiment chiants si on founit pas d'explications!

    Mais bon merci pour tout ! Je crois que la discussion peut être fermé maintenant.

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