exercices sur la mécanique

[invite56f88dc9]

Bonjour, j'ai des exos sur la mécanique.
Je pense en avoir trouvé un (le 1er exo) mais je ne suis pas sur des résultats. Pour le deuxième je suis un peu dans les nuages. Voici les énoncés :

1er exercice :

Un point initialement au repos M₀ d'abcisse x₀ se déplace sur l'axe Ox en étant soumis à l'accélération a=-k/x² (k>0)
Etablir la relation liant la vitesse algébrique v à x.
Sans développer les calculs indiquer comment on pourrait détermnier t en fonction de x.

Mes recherches :

a=dv/dt par intégration, v(t)=(-k/x²)t +k1 et avec conditions initiales k1=v₀

en faisant des petites bricoles sur la formule précédente on a t= (- k/x²)(v(t)-v₀)
Mais je ne suis pas très sur merci de me confirmer.


Exercice 2

Quatre mouches ssupposées ponctuelles sont initialement situées aux sommets A,B,C etD d'un carré d'arête a. Chaque mouche vole en direction de la suivante à la même citesse v en norme.
En tenant compte de la symétrie du problème, on peut dire qu'à chaque instant les mouches occupent les 4 sommets d'un carré dont l'arête diminue de a à 0.
Soit 0 le centre fixe de ce carré et M la position occupé à l'instant t par l'une des mouches.
M est localisé par ses coordonnées polaires r et théta. Exprimer le vecteur vitesse de la mouche sur la base de ces coordonnées polaires et en déduire la loi horaire r(t). Au bout de combien de temps la mouche partie de A va-t-elle arriver en 0 ?
Déterminer ensuite l'équation polaire de la trajectoire r(théta) dont la représentation graphique est un arc de spirale logarithmique.

Pour cet exo je ne vois pas la représentation et j'ai pas du tout capté le passage : "dont l'arête diminue de a à 0"

Merci de m'aider et de clarifier la situation

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[zoup1]

a=dv/dt par intégration, v(t)=(-k/x²)t +k1 et avec conditions initiales k1=v₀

Cela ce n'est pas bon car l'accélération dépend explicitement de la position. Tu ne peux donc pas faire ton intégration comme si a était une constante (elle ne l'est pas... elle dépend de x).

[invite4b9cdbca]

Dans un premier temps, on te demande juste une relation entre v et x... Alors pourquoi ne pas intégrer par rapport à la position ?

[pephy]

bonsoir
on peut écrire

l'intégration (par rapport au temps) devient évidente en multipliant à droite et à gauche par

[A voir en vidéo sur Futura]

[pephy]

pour les mouches il suffit de remarquer que le vecteur vitesse fait en permanence un angle de 45° avec le rayon vecteur....caractéristique d'une spirale logarithmique
je connaissais le problème avec des escargots

[invite56f88dc9]

je n'ai pas très bien compris le passagé :
l'intégration (par rapport au temps) devient évidente en multipliant à droite et à gauche par dx/dt

De plus on a pas vu en classe la spirale logarithmique.

[zoup1]

l'intégration (par rapport au temps) devient évidente en multipliant à droite et à gauche par dx/dt

Evidente est peut-être un bien grand mot...
Pour te mettre sur la piste, c'est exactement de cette façon que l'on démontre le théorème de l'énergie cinétique...
PS : Ce n'est pas une intégration par rapport au temps qu'il vaut mieux faire, mais au contraire simplifier par dt.
PS bis : dx/dt c'est aussi v... parfois il vaut mieux l'écrire v, d'autre dois dx/dt

[invite56f88dc9]

Je suis désolé mais je n'ai toujours pas compris

[zoup1]

Je crois qu'il faut que tu nous dises ce que tu as essayer de faire... et précisément là où tu bloques...
Sinon on va être obligé de te donner la démonstration (qui comme je l'ai dis est vraissemblablement déjà dans ton cours). Et je crois bien que personne n'a envie de te donner le résultat tout cuit (ou cru ?)

[pephy]

PS : Ce n'est pas une intégration par rapport au temps qu'il vaut mieux faire, mais au contraire simplifier par dt.

je demande à voir...
x"x'=-kx'/x²=k(1/x)' ce n'est tout de même pas la mer à boire

[zoup1]

je demande à voir...
x"x'=-kx'/x²=k(1/x)' ce n'est tout de même pas la mer à boire

D'expérience, pour un étudiant lambda, je peux t'assurer que ci ce n'est pas la mer à boire c'est au moins un lac de montagne.

[invite56f88dc9]

Après recherche sur l'exo 2 :
On a OM=Om+mM (pour les vecteurs je ne connais pas les touches).
OM = r *vecteur u_r +(a/2)
V = d(vecteur om)/dt = dr/dt vecteur u_r + r d(théta)/dt*vecteur (u théta).
J'aurais pensé résoudre l'equa diff puisque on vitesse constante en posant v=sqrt(x²+y²) mais le d(théta)/dt me gêne. Comment dois je faire ?