Poutre hétérogène

[invitee0b658bd]

Bonjour,
je désire calculer une poutre hétértogéne (poutre rectangulaire avec semelles réalisées a base de U en alu 2017 (AU4G) et une ame en polystyrene (styro... roofmate ou autre).
malgrés quelques recherches je n'ai pas trouvé de sites explicant ce genre de calculs d'une facon qui me soit accessible.
mes questions sont les suivantes:
connaissez vous un site qui puisse me donner suffisement de renseignements pour que je puisse me debrouiller seul.
dans le cas contraire, une ame charitable pourait elle me prendre par la main pour réaliser ce dimentionnement.

j'ai fait math spé, il y a 20 ans, et mes souvenirs sont assez flous.

merci d'avance
fred
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[invitec35bc9ea]

bonsoir Fred,
je pourrais te faire ça avec un logiciel FEM, mais pour ça il me faudrait plus d'elements.
dimensions exactes?
par quel moyen son fixées les deux partie Alu/polystyrene à l'interface (colle, moulage, surepaisseur...)?
types et valeurs des sollicitations?
si tu connais exactement la masse volumique, de coef de poisson, la limite elastique, limite de rupture et autre, ça m'eviterait de chercher ça.

[invitee0b658bd]

bonsoir einstein,
je n'ai pas de dimentions exactes, ce que je cherche finalement c'est à calculer le terme EI sur une poutre heterogene (mais heureusement symetrique) afin de pouvoir tester mes differents cas de charge pour pouvoir prédimentionner ma poutre.
Les cas de charges sont nombreux et complexes, mais sur une poutre simple, excel mme donne deja de trés bon resultats. Une fois la poutre prédetermminée, il faudra évidemment la vérifier d'une facon plus poussée, mais je n'en suis pas encore la.
fred

[invitec35bc9ea]

à quoi elle ressemble ta poutre?

y a-t-il un media entre l'aluminium et le polystyrene?
tu peux m'en dire plus sur ce que tu veux faire?
j'ai l'impression que tu veux un modele de calcul, je me trompe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0b658bd]

bonjour,
il s'agit du longeron d'un gros (trés gros) modele reduit d'aile volante.
sur le fichier joint, la conception de la poutre.
on peut voir que cette poutre possede au moins deux plans de symetrie (ca aide)
est ce que je fait une erreur en considerant que la fibre neutre est sur le plan de symetrie ?
Le module de young de la mousse est ridicule par rapport à celui de l'aluminium. Si je ne considere que l'aluminium dans le calcul du moment d'inertie, je ne doit pas faire une grosse erreur ( et cette erreur va dans le sens de plus de sécurité) ce raisonement est il correct ?
pour calculer l'effort tranchant, j'ai plus de soucis, surtout dans la zone des ailles des U.
est ce que negliger les ailes des U pour le calcul de l'effort tranchant tout en les prenant en compte dans le calcul du moment d'inertie est coherent ? (surtout est ce que cela va vers plus de sécurité)?
finalement pas mal de questions pour une simple petite poutre
fred

en plus, mais je ne veux pas en tenir compte pour l'instant, au points d'application des plus gros efforts pontuels, des ames en alu seront montées afin de servir de points d'ancrages

[invitec35bc9ea]

Bonsoir,

bonjour,
il s'agit du longeron d'un gros (trés gros) modele reduit d'aile volante.
sur le fichier joint, la conception de la poutre.
on peut voir que cette poutre possede au moins deux plans de symetrie (ca aide)
est ce que je fait une erreur en considerant que la fibre neutre est sur le plan de symetrie ?

Biensur que non.

Le module de young de la mousse est ridicule par rapport à celui de l'aluminium. Si je ne considere que l'aluminium dans le calcul du moment d'inertie, je ne doit pas faire une grosse erreur ( et cette erreur va dans le sens de plus de sécurité) ce raisonement est il correct ?

Bien au contraire. tu dois principalement conciderer la mousse car si tu sollicite au cisaillement ou à la flexion, c'est la mousse qui va ceder en premier car il n'y a pas d'interface physique entre les deux profilés d'alu, ce qui fait que c'est le media(ici la mousse) qui va enquesser toute le charge.

est ce que negliger les ailes des U pour le calcul de l'effort tranchant tout en les prenant en compte dans le calcul du moment d'inertie est coherent ? (surtout est ce que cela va vers plus de sécurité)?

mais ton effort tranchant est maximale à l'interface entre alu et mousse. ilne faut donc pas le negliger(tjrs dans l'hypothese d'un cisaillement ou d'une flexion/il en va autrement pour la traction compresssion)

Pour le moment, je ne vois pas comment calculer ça. mais comme je t'ai dis, je pourrais faire ça par logiciel. fais moi signe si ça t'interresse.

A+

[invitee0b658bd]

bonsoir,
le polystyrene est bien sur collé sur l'alu, et en premiere aoproximation je peux considerer que la tenue au cisaillement du joint est superieure à celle du polystyrene (donc c'est pas la que ca devrait casser)
fred

[invitee0b658bd]

pour ce qui est du moment d'inertie

Citation:
Le module de young de la mousse est ridicule par rapport à celui de l'aluminium. Si je ne considere que l'aluminium dans le calcul du moment d'inertie, je ne doit pas faire une grosse erreur ( et cette erreur va dans le sens de plus de sécurité) ce raisonement est il correct ?

Bien au contraire. tu dois principalement conciderer la mousse car si tu sollicite au cisaillement ou à la flexion, c'est la mousse qui va ceder en premier car il n'y a pas d'interface physique entre les deux profilés d'alu, ce qui fait que c'est le media(ici la mousse) qui va enquesser toute le charge.

pour moi, le fait de negliger la mousse dans le calcul du oment d'inertie, conduit plus loin dans le calcul à un terme "EI" plus faible (on a en fait consideré que la mmousse était du vide). toujours d'aprés ce que j'ai compris des structures composites les peaux exterieures travaillent presque uniquement en traction ou en compression, et le remplissage interne travaille presque uniquement au cisaillement.

Il est vrai que j'ai surement employé le terme moment d'inertie d'une facon impropre, il aurait plutot fallu que je parle de "EI" équivalent (sachant que sur la poutre j'ai 2 E differents)
fred

[sitalgo]

Bonsoir,

Tel que je vois ton système, le polystyrène de par son Young sera incapable d'assurer la transmission des bielles de contraintes. L'inertie d'une telle poutre est simplement l'addition de l'inertie des deux profils alu, la hauteur totale de la poutre ne change rien, celle du polyst étant négligeable.
Ce n'est pas pour rien que les poutres treillis ont des éléments à 45° dans l'âme, ou qu'on met des cadres dans le béton armé.

Il vaut mieux coller des plaques de mousse de PVC rigide (4mm) sur les ailes des U qui pèseront peut-être moins lourd que l'épaisseur de polystyrène tout en procurant une meilleure rigidité.

[invitee0b658bd]

bonsoir,

L'inertie d'une telle poutre est simplement l'addition de l'inertie des deux profils alu, la hauteur totale de la poutre ne change rien

j'etais persuadé, qu'il fallait transporter le moment d'nertie de chaque U jusqu'a la fibre neutre, et donc finalement que la hauteur de la partie vide (ou mousse) de la poutre intervient au carré dans le calcul du moment d'inertie.
fred

[sitalgo]

Le problème est de résister au cisaillement horizontal, mettre un matériau trop élastique revient à relier les deux U par des entretoises verticales pouvant pivoter autour de leurs fixations. Le fait d'appuyer sur le U du haut (cas d'une poutre sur 2 appuis) va simplement faire baisser celui du bas, les sections planes restent parallèles entre elles. On a donc simplement l'inertie de 2 profils, chacun avec une zone tendue et une comprimée.

Par contre si on ajoute par ex des éléments à 45°, on retrouve une poutre treillis avec le profil du haut entièrement comprimé et celui du bas tendu, donc une inertie calculable sur la hauteur totale.

[chaverondier]

Si je ne considere que l'aluminium dans le calcul du moment d'inertie, je ne dois pas faire une grosse erreur (et cette erreur va dans le sens de plus de sécurité) ce raisonnement est il correct ? Pour calculer l'effort tranchant, j'ai plus de soucis, surtout dans la zone des ailes des U. Est-ce que negliger les ailes des U pour le calcul de l'effort tranchant tout en les prenant en compte dans le calcul du moment d'inertie est coherent ? (surtout est ce que cela va vers plus de sécurité)? Finalement pas mal de questions pour une simple petite poutre

Il y a deux problèmes distincts à considérer
1/ la rigidité de la poutre composite (en flexion et vis à vis de l'effort tranchant)
2/ La résistance de la poutre (en flexion et vis à vis de l'effort tranchant)

1/ Pour la rigidité E I_tot de flexion (dans le plan vertical)

1-a/ Si le polystyrène s'avère capable d'assurer une liaison correcte entre les deux U (ce qui n'est pas évident) alors la rigidité de flexion de la poutre composite autour d'un axe horizontal vaut :

E I_tota = E (2 I_U + S d^2/2)

I_U = inertie de flexion d’un seul U autour de l'axe central parallèle à son âme
S = section du U
d = distance entre les axes neutres des deux U
E = module élastique de l'AU4G

On verra plus bas comment calculer l’aptitude du polystyrène à résister au cisaillement d'effort tranchant (ce cisaillement du polystyrène résulte de la liaison assurée entre les deux U s’ils travaillent l’un en compression et l’autre en traction grâce au rôle joué par le polystyrène).

1-b/ Si on craint que les deux U ne fléchissent indépendamment, autrement dit, si l'on estime que le polystyrène est trop souple pour obliger le U supérieur à se mettre en compression et le U inférieur à se mettre en traction, alors I_totb = 2 I_U

Dans ces deux cas, la flèche y de flexion est solution de

d^2y/dx^2 = M/(E I_tot)

1'/ Pour la rigidité G A' d'effort tranchant de la poutre composite

1'-a/ Si la poutre composite fléchit globalement, alors la souplesse d'effort tranchant est dictée par le comportement élastique du polystyrène. On a alors une souplesse d’effort tranchant de la poutre composite

G A’_a avec

G = module élastique de cisaillement du polystyrène
d = distance entre les axes neutres des deux U
b = épaisseur du polystyrène
et A'_a = bd

La flèche due à l'effort tranchant T (flèche qui s'ajoute à la flèche de flexion) vérifie alors :
dy/dx = T/(G A'_a)

1'-b/ si les deux U fléchissent séparément, alors la souplesse d'effort tranchant est dictée par le comportement élastique des U.

Chaque U reprend la moitié de l'effort tranchant et la flèche due à l'effort tranchant T agissant sur la poutre composite vérifie

dy/dx = (T/2)/(G A'_b), mais avec
A'_b = somme des sections des deux ailes d'un seul U
G = module élastique de cisaillement de l'Alu

2/ Résistance en flexion

2-a/ si la poutre composite fait travailler les deux U "ensemble" (l'un en compression, l'autre en traction) sigma = M/(I_tota/v), avec pour v la demi-hauteur de la poutre composite.

Il est à noter que la contrainte sigma = 2 M d/I_tota, (avec d distance entre cdg des deux U), est alors une contrainte de compression dans le U supérieur et de traction dans le U inférieur. Cela donne lieu à la nécessité de vérifier la stabilité de la poutre vis à vis du déversement

2-b/ si les deux U travaillent séparément en flexion, alors la contrainte de flexion dans chaque U vaut

Sigma = (M/2)/(I_U/v_U), où I_U/v_U désigne le module de flexion d'un seul U
Autrement dit, chaque U reprend la moitié du moment M de flexion de la poutre composite et fléchit tout seul sous l'action du moment de flexion M/2

2'/ Résistance à l'effort tranchant

2'-a/ si la poutre composite fait travailler les deux U "ensemble" (l'un en compression, l'autre en traction), alors la contrainte de cisaillement dans le polystyrène vaut (au niveau de la lame neutre coupant le polystyrène en deux)

tau = T mu /(b I_tota)

T effort tranchant (maxi au dessus des appuis)
avec pour mu, le moment statique d'un U par rapport à l'axe neutre de la poutre composite,
soit mu = S (d/2)
S section d'un seul U
d = distance entre les axes neutres des deux U
b = largeur du polystyrène au niveau de la lame neutre de la poutre composite
I_tota = inertie totale de flexion de la poutre composite dans l'hypothèse où le U supérieur travaille en compression et le U inférieur en traction

Pour le cisaillement dans le joint collé, on a alors, le long des ailes du U

2 tau = (T/I_tota) dmu/ds
(le 2 vient du fait que le polystyrène est collé sur chacune des 2 ailes du U)

où dmu/ds désigne la variation du moment statique de la section oméga du U qui se trouve au dessus de l'altitude s par rapport à la lame neutre de la poutre composite. Plus précisément : mu(Oméga) = (section oméga) x (distance entre le cdg de la section oméga et la lame neutre de la poutre composite, cad une distance un peu plus grande que s)

Sous l'âme du U, la formule donnant le cisaillement du joint de colle (entre âme du U et polystyrène) marche encore en considérant que le paramètre s de position le long du joint de colle repère l'abscisse curviligne (le long de la ligne neutre de l'épaisseur du U) et Oméga(s) la partie symétrique de la section du U qui se trouve au delà de l'abscisse s.

2'-b/ si la poutre composite fait travailler les deux U séparément (flexion individuelle de chacun des 2 U), alors ce sont les U qui supportent l'effort tranchant (une moitié chacun) et on a : tau = (T/2)/A'_b dans les ailes des U

T/2 moitié de l'effort tranchant supporté par la poutre composite
A'_b = section des deux ailes d'un seul U

BC

[invitee0b658bd]

bonsoir,
merci beaucoup chaverondier, je crois qu'avec cela je vais bosser tout cela (j'ai du boulot pour tout integrer mais j'aime bien comprendre) cela va me permettre de predimentionner ma poutre, mais je crois que je ne couperai pas à un essai grandeur nature. Mais quelques calculs avant, ca m'evitera de faire 36 essais.
au niveau de la reprise des principaux efforts, pour des raisons de "basse mécanique" deux ames en au4g seront rajoutées. Je prefere cependant dans un premier temps ne pas en tenir compte, en me disant que leur action ne peut etre que benefique.

merci encore
fred

[invitee0b658bd]

pour info les caracteristiques du styrodur

[invitee0b658bd]

bonjour,
mon idée n'était pas si farfelue.... le longeron du skypup, ULM de 9 metres d'envergure est fait comme cela.
http://www.skypup.net/rmacke/scan02.jpg
http://www.skypup.net/dgrunloh/dan18.jpg
http://www.skypup.net/dgrunloh/dan20.jpg
bref leger éconoique et efficace
fred