histoire de vitesse instantanée

[invite93279690]

J'ai discuté avec un eleve de 1ere S recemment et on est venu à parler de vitesse instantanée...cette derniere est definie rigoureusement en un point M1 à un instant t1 comme etant:
v=lim(t2->t1) M1M2/(t2-t1) avec t2 >t1 (a)
on peut aussi trouver v=lim(to->t1)MoM1/(t1-to) (b)
et en reunissant les deux on a (en appelant tau=t2-t1=t1-to)
v=lim(tau->0)MoM2/(2tau) (c)

neanmoins, cette formule qui conduit à une ecriture differentielle n'est utilisable seulement lorsque l'on connait l'equation horaire du point M..ainsi dans des exercices de 1ere ou de terminale les eleves sont amené à calculer et à representer des vitesse instantanées en des points et à des dates precises en partant d'un graphique (mobile autoporteur par exemple).A ce moment là les eleves doivent utiliser (et je l'ai fait avant eux) la formule v= MoM2/(2tau) pour connaitre l'orientation et la norme de la vitesse instantanée au point M1 à la date t1.(Mo et M2 etant voisins de M1)
J'aimerais savoir d'ou vient cette formule (qui est une approximation de (c))et surtout comment montrer qu'elle reste une meilleure approximation que la formule directe v=M1M2/(tau) ((a)sans la limite)
je ne sais pas si ma question est clair (dans le cas contraire dites le moi svp)mais j'aimerai que vous m'aidiez svp.
merci
-----

[invite8c514936]

Si si, je crois que la question est claire : tu as les positions en 3 points M0, M1, M2, pourquoi calculer la vitesse entre M0 et M2 plutot qu'entre M1 et M2 (ou M0 et M1) ? C'est ça ?
Si oui, la réponse est la suivante : si la vitesse varie au cours du temps (si le système est accéléré), la mesure entre M0 et M2 va donner un résultat plus précis que les deux autres. Le moyen le plus simple pour s'en convaincre est de faire un petit dessin. Trace M0, M1 et M2 par exemple sur un arc de cercle, pour un mouvement purement circulaire à vitesse angulaire constante. La vraie vitesse est tangente au cercle au point M0. La vitesse mesurée par M1M2/tau est trop dirigée vers le centre du cercle, celle mesurée par M0M1/tau est trop dirigée vers l'extérieur du cercle... Faire la mesure entre M0 et M2 compense (au moins en partie) les erreurs due à l'accélération, et on peut montrer que si cette dernière est constante, et si les points sont séparés du même intervalle de temps, cette méthode donne exactement le bon résultat.

Bon, pas facile de décrire des dessins, dis-moi si tu veux une explication plus calculatoire... (heu... Non, hein, tu veux, pas, dis ?? )

Et bien sûr avec tout ça tu n'as pas la vitesse instantanée mais la vitesse moyenne entre les points de mesure...

[invitea3fc981a]

Ben après on peut aussi voir la vitesse instantanée comme la vitesse moyenne entre M0 et M2 quand leurs positions tendent vers celle de M1...

[zoup1]

Bonjour,

Le choix de la méthode utlisée pour calculer la vitesse instantanée a souvent que peu d'importance si toutefois l'intervalle de temps entre les points de mesure reste petit devant le temps de variation de la grandeur mesurée. L'expression proposée en (c) à l'avantage d'être symétrique par rapport au point ou l'on cherche à déterminer la vitesse instantanée... elle ne donne pas une orientation particulière au temps... en ce sens, elle est meilleure.

En fait, il existe tout un tas de façon différentes de calculer cette vitesse instantanée (ou plus généralement une dérivée) lorsque l'on a une discrétisation de l'espace par rapport auquel on cherche à calculer la dérivée. Il peut par exemple être utile d'utiliser non pas un point de part et d'autre de celui où l'on cherche à calculer la vitesse mais plusieurs... 2, 3 voire plus...
Les gens qui se sont sans doute le plus posé de questions sur le sujet sont ceux qui font du calcul numérique. Le choix de la discrétisation en temps n'est pas non plus très simple... Pour pouvoir prendre en compte des variations rapide de la grandeur à dérivée (ici la position) on est amené à prendre des intervalles de temps le plus petit possible, mais si on choisit cet intervalle de temps trop petit, alors la variation de la grandeur devient trop faible et la dérivée calculée pleine d'incertitude...
Il peut également être utile d'interpoler ou de modéliser les données pour calculer au mieux une dérivée...


j'ai pas bien pris le temps de regarder mais il me semble que ce lien doit aider à comprendre...
http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/...DerivNum03.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

je suis content que ma question ait été comprise merci pour vos reponses !!

[invite93279690]

deep_turtle j'ai essayé de mon coté une explicationplus calculatoire...en fait j'ai envie de le montrer analytiquement mais je dois reconnaitre que je n'y arrive pas vraiment ...j'ai notamment essayer à partir des developpements limités mais je n'avance pas.
Si d'aventure quelqu'un pouvait m'aider j'accepte son aide sans aucune hesitation!!!

[invite143758ee]

(v(t+h)-v(t-h))/2=v(t).h+o(h^2) !!
donc, c'est pas étonnant que la vitesse spontanée v(t) soient très bien approximée par une moyenne de la vitesse immédiatement avant et immédiatement après.

[invite93279690]

oula je dois etre bete tu peux m'expliquer comment tu trouves ça s'il te plait dupo merci!!

[invite143758ee]

petite rectification

(x(t+h)-x(t-h))/2=v(t).h+o(h^2)

[invite143758ee]

alors que x(t+h)-x(t)=v(t).h+o(h) seulement,
d'où l'intérêt de prendre deux positions symétriques des deux cotés du point considéré.

[invite93279690]

merci dupo je suis d'accord avec l'expression x(t+h)-x(t)= h*v(t) + o(h) mais par contre dans l'autre expression que tu donne je ne voit pas d'ou sort le o(h²) si tu pouvais me le dire stp.

[invite143758ee]

j'ai notamment essayer à partir des developpements limités mais je n'avance pas.

voilà,voilà...

[invite93279690]

....euh...et donc il sort d'ou le o(h²) dupo (c'est toi qui l'a proposé pas moi)?

[invite143758ee]

ah, pardon, je vais développer:
x(t+h)=x(t)+x'(t).h+0.5.x''(t) .h^2+(1/3!)x'''(t)h^3 + o(h^3)
en fait on sait très bien que cette série continue jusqu'à l'ordre que tu veux (sous certaines conditions).
et
x(t-h)=x(t)+x'(t).(-h)+0.5x''(t).(-h)^2+(1/3!)x'''(t)(-h)^3+o(h^3)

alors la différence, nous donne:
x(t+h)-x(t-h)=2x'(t)h+2(1/3!)x'''(t).h^3+R(h)
R(h) est o(h^4).

voilà, maintenant, x'(t)=v(t) la vitesse instantanée, et x'''(t) qui n'est pas très accessible, on l'enlève...le but étant de trouver une bonne approximation de v(t) à partir de x(t).

voilà, voilà.

[invite143758ee]

je vais peut être rappeler ce qu'est o(h)...
R(h) est o(h) si R(h)/h tend vers 0, pour h tendant vers 0.

[invite93279690]

moi les notations ne sont pas tout a fait les memes donc..pour clarifier les choses peut tu me dire si on ecrit la meme chose ou pas

si on s'arrete au deuxieme ordre:

x(t+h)=x(t)+hx'(t)+h²/2 x"(t)+ h²E(h) avec limE(h)=0 pour h->0

x(t-h)=x(t)-hx'(t) + h²/2x"(t) +h²E(-h) avec lim E(-h)=0 pour h->0

E(h) peut contenir les derivées suivantes comme h/6*x'"(t)+...
et E(-h) peut contenir les derivées suivantes (si elles existent) comme -h/6 *x'"(t)+...

on voit bien dans ces deux ecritures que E(h) est different de E(-h) (d'apres moi) d'ou:

x(t+h)-x(t-h)=2h*v(t)+h²(E(h)-E(-h))

il semble qu'a cet endroit du calcul on peut poser une fonction f(h) telle que f(h)=E(h)-E(-h) ce qui nous donne
x(t+h)-x(t-h)=2hv(t)+h²f(h) avec lim f(h)=0 pour h->0
on a alors h²f(h)=o(h²) et donc :

x(t+h)-x(t-h)=2hv(t)+o(h²)

est ce que c'est ça ton raisonnement?

[invite143758ee]

oui, c'est ça!

on voit bien dans ces deux ecritures que E(h) est different de E(-h) (d'apres moi)

d'après moi aussi...