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Mécanique des fluide : Etude d'un château d'eau



  1. #1
    Korrigan44

    Mécanique des fluide : Etude d'un château d'eau

    Bonjour à tous...
    Je planche actuellement sur un problème classique de mécanique des fluides...
    J'aimerais qu'une âme bienveillante vienne corriger ce que j'ai fait (le début du moins)
    et que j'avance moi-même avec votre aide jusqu'à la fin de l'étude question après question
    Pour l'instant je bloque sur la deuxième...


    Voici le sujet de l'étude :


    Un système de tuyauterie alimente depuis la mer un château d'eau situé sur le toit d'un immeuble de thalassothérapie
    (hôtel Royal à la Baule); Ce château d'eau alimente lui même un réservoir situé en contrebas
    .On se propose d'étudier le comportement hydraulique de ce système;

    Le château d'eau est de forme cylindrique de hauteur 3,5m et de rayon 2m; Les tronçons EF et GH ont pour longueur 8m
    et le tronçon FG fait 9m de long.La conduite cylindrique EFGH est en béton de diamètre intérieur 20 cm alors
    que la conduite ABCD est en fonte de diamètre intérieur 60 cm.

    Pour les questions suivantes les pertes de charge linéiques seront calculées à partir de l'équation 1 et en utilisant
    le diagramme de Moody pour la détermination de lambda. Les pertes de charges singulières seront négligées dans tous les cas :

    delta H = lambda x (L/D) x (V²moy/2g)

    1) Etude pratique du circuit hydraulique aérien

    L'eau est évacué du chateau d'eau vers le réservoir tampon par la conduite EFGH en béton de rugosité 2 mm. L'eau arrive
    en tête du réservoir à l'air libre lorsque les vannes E et H sont ouvertes.
    A l'entrée de cette conduite se trouve la vanne E qui en épouse parfaitement les formes et qui est mobile autour d'un
    axe horizontal passant par son centre. Cette vanne est placée en pied du chateau d'eau.




    1.1) Donner l'expression littérale et calculer la force de pression exercée sur la vanne E lorsque celle ci est fermée et lorque le niveau d'eau dans le château atteint 3 m au dessus de l'axe de la vanne.

    Réponse :
    Le champs de pression est de
    p = rhô x g (h+z) + Patm avec h = 2.8 et z = 0.1 (rayon de la vanne cylindrique)

    Donc p = 1000 x 9.81 x (2.9) = 28450 Pa

    On en déduit la force résulatante en prenant en compte la symétrie du disque:

    dF = rhô x g x ((h+z)(h-z)dS.ey (suivant la direction ey)
    =>F = rhô x g x 2h x (pie x R²/2) .ey
    =>rhô x g x h x pie x R² . ey
    => 1000 x 9.81 x 2.9 x pie x 0.1² = 893.75 N

    1.2) Donner l'expression littérale et calucler le débit d'eau qui se produit dans la conduite lorsque les vannes E et H
    sont ouvertes et lorsque le niveau d'eau dans
    le chateau est maintenu constant à une hauteur de 3 m au dessus de l'axe de la conduite

    Réponse : "Je connais juste la différence de pression entre E et H... ainsi que la longueur de la conduite entre ces 2 points)
    Je dois sans doute partir de la relation de Bernouilli :
    Entre e et h :

    Patm/(rhô x g) + Zh + Vh²/2g = Pe/(rhô x g) + Ze + Ve²/2g

    Pa = p = 0 (pression relative à la limite de la section)
    Hypothèses = la canalisation a la même section de E à H => Conservation de la vitesse
    Le sas est statique au niveau du réservoir du chateau d'eau (maintenu à 3 m)

    Donc Vh = racine carrée de (2g x (Ze-Zh)) = 13.36 m/s
    => Q = V.S = 0.42 m/s

    Pensez vous que ce résultat est correct?
    Je n'ai pas utilisé la longueur de la conduite pourtant... ni l'équation 1 sur les pertes de charge linéiques...

    Merci d'avance...

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    FC05

    Re : Mécanique des fluide : Etude d'un château d'eau

    Normal, tu n'as pas utilisé l'équation de Bernoulli avec perte de charge ... rajouter delta_H à droite dans ton expression.
    "La réalité c'est ce qui reste quand on refuse d'y croire" P.K. Dick

  4. #3
    PROFF

    Smile Re : Mécanique des fluide : Etude d'un château d'eau

    Solution

    Charge hydraulique : H=p/ro/g+U2/2g+Z
    avec ro=1000 kg/m3 g=9.81
    HD-HH=DHpdc
    HD=patm/ro/g+0+ZD
    HH=patm/ro/g/ro/g+U2/2g+ZH
    HD-HH=ZD-ZH-U2/2g
    DHpdc=somme(pertes de charge par frottement et singulières)
    Q=U*S
    pertes de charge par frottement =lamda*LEH/D*Q2/2gS2
    pertes de charge singulières =(2* Kcoude + Kentrée)*Q2/2gS2 pour deux coudes
    Kcoude de l'ordre de 0,75 et Kentrée de l'ordre de 0,5
    soit
    ZD-ZH=(lamda*LEH/D+2+1)*Q2/2gS2
    d'où Q lamda = 0.02 est une bonne approximation
    si ZD=12 m (9+3) et ZH=0 LEH = 25 m D=0.2 m
    Q=0,042 m3/s (42 litres /s) et U=1,34 m/s
    Nombre de Reynolds Re = U *D/nu
    nu viscosité cinématique = 0,000001 pour l'eau
    Re = 269 000 régime turbulent
    Si turbulent lisse
    Formule de Blasius lamda = 0316 Re^(-0.25)
    soit lamda = 0,014

    Mais si la conduite en béton est rugueuse il faut prendre une formule de type Von Karman ou Colebrook qui donnerai un lamda plus réaliste, proche de 0,02.

    Cependant il faut remarquer que les pertes de charge linéaires ont un coefficient de PDC de l'ordre de
    lamda*LEH/D=2,5
    et les pertes de charge singulières ont un coefficient de PDC du même ordre de l'ordre de 2 à 3 suivant la forme des coudes

    Il est donc (a) peu utile de prendre des valeurs de lamda optimisées (b) et il ne faut pas sous estimer les pdc singulières pour des conduites courtes

    Voilà

    Courage

  5. #4
    Korrigan44

    Re : Mécanique des fluide : Etude d'un château d'eau

    Merci beaucoup pour cette correction. Les résultats paraissent corrects.
    Notamment la vitesse, plus crédible…

    Remarque :

    ZD-ZH=(lamda*LEH/D+2+1)*Q^2/2gS^2
    Ou encore ZD-ZH=(lamda*LEH/D+2+1)*V^2/2g
    ZD-ZH = 12 m
    et (lamda*LEH/D+2+1) = 2.5
    et 2g = 19,62 m/s²

    V = 9.7 m/s
    Q = 0,3 m^3/s

    Je ne comprends pas comment on arrive à ce résultat Q = 0.042 m^3/s ???


    1.3) Calculer pour les conditions du 1.2 la charge hydraulique et la pression statique disponibles en E, F, G et H.

    En E :
    Charge hydraulique :
    On applique le théorème de Bernouilli entre E et H :
    Pe/ ro.g + Ze + V^2/2g = Ph/ ro.g + Zh + V^2/2g
    Conditions initiales : d’après 1.1) Pe = 28450 Pa ; Ze = 9.1 m et Zh = 0 m ; V = 1.34 m/s longueur L = 25
    He = Ze – Zh + (lambda. L/ D) . (V^2/2g)
    He = 9.1 + 0 = 9.1 m
    Pression statique Pe = 28450 Pa

    En F :
    Charge hydraulique :
    On applique le théorème de Bernouilli entre F et H :
    Pf/ ro.g + Zf + V^2/2g = Ph/ ro.g + Zh + V^2/2g
    Conditions initiales : Zf = 9.1 m et Zh = 0 m ; longueur L = 8 m ; V = 1.34 m/s
    Hf = Zf – Zh + (lambda. L/ D) . (V^2/2g)
    Hf = 9.1 + 0.8 x 0.0915
    Hf = 9.1732 m
    Pression statique Pf = ??

    Je ne sais pas comment raisonner…
    Dois-je prendre comme référence le point H, pour appliquer le théorème de Bernouillli ?
    Ou le faire entre EF , FG et GH ?

    1.4) Tous les ans on procède à une vidange quasi complète du château d’eau. Donner l’expression littérale et calculer le temps de vidange sachant que la hauteur d’eau résiduelle dans le château d’eau est de 25 cm.

    Réservoir cylindrique : Hauteur = 3.5 - 0.25 (h résiduelle) = 3.25 m
    Diamètre = 2 m
    Débit volumique Q = 0,042 m3/s (42 litres /s)
    dV = Qdt = - Aire .dZ
    V = 1.34 m/s
    Aire = 3.14 x r^2 = 3.14 m^3
    dt = (-A . dZ)/V

    Arrivé à ce niveau, je ne sais pas vraiment comment intégrer…

    Merci pour votre aide…

  6. #5
    Korrigan44

    Re : Mécanique des fluide : Etude d'un château d'eau

    Peut être qu'en intégrant par V = racine (2*g*Z)
    avec g = 9.81 m/s^2 entre 0 et 3.25...
    Mais cette expression de la vitesse doit être fausse...
    Puisque je trouve des vitesses improbables, de l'ordre de 13 m/s.
    Je ne sais pas comment M. Proof trouve 1.34 m/s.
    J'ai du me "planter"...

    Ca me tue...

    Si vous trouvez, SVP, faites moi signe.
    Merci.
    Bonne nuit.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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