énigme électrostatique
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énigme électrostatique



  1. #1
    invite455504f8

    énigme électrostatique


    ------

    Considérez le potentiel (scalaire) créé par un dipôle électrique p
    et le potentiel (vecteur) créé par un dipôle magnétique M

    (les dipôles sont statiques)

    pour le champ électrique on a:

    et pour le champ magnétique


    par suite: et

    Maintenant si on regarde les expression obtenues pour E et B, on constate qu'elles sont (formellement) identiques (inverser p et M et et )

    par conséquent:

    et

    on a donc et
    comme E et B sont nuls à l'infini, ils sont donc identiquement nuls

    Votre avis?

    -----

  2. #2
    invite88ef51f0

    Re : énigme électrostatique

    Salut,
    Bien essayé !
    Maintenant si on regarde les expression obtenues pour E et B, on constate qu'elles sont (formellement) identiques (inverser p et M et et )
    Hum, je crois voir des différences entre les expressions pourtant...

  3. #3
    invite7ce6aa19

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par feldid Voir le message
    Considérez le potentiel (scalaire) créé par un dipôle électrique p
    et le potentiel (vecteur) créé par un dipôle magnétique M

    (les dipôles sont statiques)

    pour le champ électrique on a:

    et pour le champ magnétique


    par suite: et

    Maintenant si on regarde les expression obtenues pour E et B, on constate qu'elles sont (formellement) identiques (inverser p et M et et )

    par conséquent:

    et

    on a donc et
    comme E et B sont nuls à l'infini, ils sont donc identiquement nuls

    Votre avis?
    Oui mais tu ne peux pas permuter le potentiel scalaire avec le potentiel vecteur. non?

  4. #4
    invitefa5fd80c

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par feldid Voir le message
    Maintenant si on regarde les expression obtenues pour E et B, on constate qu'elles sont (formellement) identiques (inverser p et M et et )
    Salut

    Ces expressions originent du développement des potentiels en harmoniques sphériques.

    Elles représentent bien les champs uniquement hors de la région où se trouvent les sources. Et hors de la région où se trouvent les sources, la divergence de E et le rotationnel de B (dans le cas statique) sont toujours nuls.

    La divergence de B quant à elle est toujours nulle et le rotationnel de E dans le cas statique est toujours nul aussi.

    En résumé, dans le cas statique et loin des sources, la divergence et le rotationnel de E et B sont toujours nuls, sans que les champs soient nécessairement nuls.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite455504f8

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    Salut

    Ces expressions originent du développement des potentiels en harmoniques sphériques.

    Elles représentent bien les champs uniquement hors de la région où se trouvent les sources. Et hors de la région où se trouvent les sources, la divergence de E et le rotationnel de B (dans le cas statique) sont toujours nuls.

    La divergence de B quant à elle est toujours nulle et le rotationnel de E dans le cas statique est toujours nul aussi.

    En résumé, dans le cas statique et loin des sources, la divergence et le rotationnel de E et B sont toujours nuls, sans que les champs soient nécessairement nuls.
    bien sûr le problème vient de la singularité à l'origine.
    Mais quand même: j'ai supposé les dipôles ponctuels (ce qui est critiquable physiquement mais en revanche mathématiquement c'est parfaitement défini)
    alors le potentiel scalaire est rigoureusement:

    comme solution (au sens des distributions) de

    de même pour le potentiel vecteur

    ensuite on prend le gradient du premier et le rotationnel du second

    et

    le champ électrique étant un gradient (dans tout l'espace!) possède un rotationnel nul dans tout l'espace (y compris en 0)
    le champ magnétique étant un rotationnel (dans tout l'espace!) possède une divergence nulle dans tout l'espace y compris en 0

    si les expressions des champs sont identiques on doit conclure que divE=0 et rotB=0

    où est l'erreur?

  7. #6
    invitefa5fd80c

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par feldid Voir le message
    bien sûr le problème vient de la singularité à l'origine.
    Mais quand même: j'ai supposé les dipôles ponctuels (ce qui est critiquable physiquement mais en revanche mathématiquement c'est parfaitement défini)
    alors le potentiel scalaire est rigoureusement:

    [...]
    où est l'erreur?
    Le moment dipolaire est une quantité définie en fonction d'une densité de charge non-nulle à l'intérieur d'une région de rayon R autour d'un point de référence X. Pour une région de rayon R=0, le moment dipolaire est nul : un "dipôle ponctuel" a obligatoirement un moment dipolaire nul.

    Tu as donc démontré qu'un moment dipolaire nul produit un champ nul

  8. #7
    invite455504f8

    Re : énigme électrostatique

    pas du tout, un moment dipolaire ponctuel de moment P placé en 0 est représenté par la densité de polarisation

    (de même qu'une charge ponctuelle q est représentée par la densité de charge )

  9. #8
    b@z66

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par feldid Voir le message
    et

    on a donc et
    comme E et B sont nuls à l'infini, ils sont donc identiquement nuls

    Votre avis?
    Excuse-moi mais personnellement je trouve que tu vas un peu vite à cet endroit dans ton raisonnement, E et B ne sont pas nuls en réalité à l'infini: ils tendent vers 0 mais ne sont pas "strictement" nul. En conséquence, se servir de la propriété du Laplacien pour ensuite dire que E et B sont donc nul partout est un peu exagéré et cela est indépendant du cas des dipôles mais est valable plus généralement pour tous les cas d'électrostatique.
    Sans avoir étudié véritablement le problème, on peut rapprocher cela du principe de l'unicité d'une situation d'électrostatique qui dit qu'en considérant les mêmes sources ainsi que la même connaissance d'un potentiel sur une surface entourant la région d'intérêt, cela conduit à l'unicité des champs. Le problème est que si tu prends une surface suffisamment grande de sorte que tes potentiels tendent dessus vers 0, tu ne pourras toujours pas rapprocher cela du cas où les potentiels sont véritablement nul car l'erreur commise en pourcentage entre ces situations reste infinie! Par contre, je pense que tu pourrais rapprocher deux situations où la décroissance des champs (en 1/r,1/r2,...) tend à devenir identique à l'infinie, l'erreur en pourcentage alors a tendance à diminuer.
    Dernière modification par b@z66 ; 26/01/2007 à 17h19.

  10. #9
    b@z66

    Arrow Re : énigme électrostatique

    De plus des champs vraiment "nuls" à l'infini impliqueraient la présence d'un "blindage" sur lequel des distributions de charges se formeraient pour annuler le champ à l'extèrieur: cela sort donc des cas que tu nous proposes où seuls les dipôles sont présents.

  11. #10
    invitefa5fd80c

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par feldid Voir le message
    pas du tout, un moment dipolaire ponctuel de moment P placé en 0 est représenté par la densité de polarisation

    (de même qu'une charge ponctuelle q est représentée par la densité de charge )
    Lorsque tu dis que le potentiel scalaire est identiquement égal à partout dans l'espace avec non-nul, tu as un énoncé qui est auto-contradictoire.

    Le moment dipolaire est une quantité définie à partir de la densité de charge et tu ne peux en spécifier la valeur indépendamment de la densité de charge. En particulier tu ne peux avoir un moment dipolaire non-nul et une densité de charge nulle partout dans l'espace.

    L'expression provient du développement du potentiel scalaire en harmoniques sphériques :



    Ici j'ai utilisé les unités gaussiennes et :

    (1)
    (2)

    Donc lorsque tu dis que partout dans l'espace, par (1) cela signifie que est nulle partout dans l'espace. Mais par (2) si est nulle partout dans l'espace alors est obligatoirement nul.

  12. #11
    invite455504f8

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    Excuse-moi mais personnellement je trouve que tu vas un peu vite à cet endroit dans ton raisonnement, E et B ne sont pas nuls en réalité à l'infini: ils tendent vers 0 mais ne sont pas "strictement" nul.
    dire qu'un champ est nul à l'infini signifie exactement qu'il tend vers 0 lorsque la distance du point d'observation à la source tend vers l'infini.
    L'erreur n'est pas là

  13. #12
    invite455504f8

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    De plus des champs vraiment "nuls" à l'infini impliqueraient la présence d'un "blindage" sur lequel des distributions de charges se formeraient pour annuler le champ à l'extèrieur: cela sort donc des cas que tu nous proposes où seuls les dipôles sont présents.
    ?????
    si l'extension des sources est finie, les champs sont nuls à l'infini....

  14. #13
    invite455504f8

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    Lorsque tu dis que le potentiel scalaire est identiquement égal à partout dans l'espace avec non-nul, tu as un énoncé qui est auto-contradictoire.

    Le moment dipolaire est une quantité définie à partir de la densité de charge et tu ne peux en spécifier la valeur indépendamment de la densité de charge. En particulier tu ne peux avoir un moment dipolaire non-nul et une densité de charge nulle partout dans l'espace.
    ce n'est pas du tout ce que je dis

    un moment dipôlaire ponctuel est représenté par la densité de polarisation
    (p est un vecteur)
    la densité de charge correspondante est

    le potentiel scalaire que j'ai écrit est la solution de l'EDP:

    avec potentiel nul à l'infini (on peut toujours rajouter une constante si on ne veut pas de cette jauge-là)
    il s'agit d'un pur résultat de maths, ça ne prête pas à discussion...

    maintenant il est clair que représenter une répartition de charges ( de charge totale nulle) par un dipôle ponctuel c'est, du point de vue de la physique, un modèle, dont la validité dépend de ce que l'on veut faire. Ce n'est pas la question ici....


    l'erreur n'est pas là.....(précision: je sais parfaitement que le résultat est faux! je sais aussi pourquoi! Je propose simplement cela comme une (petite) énigme, à titre amical )

  15. #14
    invitefa5fd80c

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par feldid Voir le message
    (précision: je sais parfaitement que le résultat est faux! je sais aussi pourquoi! Je propose simplement cela comme une (petite) énigme, à titre amical )
    Tu me rassures

    Donc prenons ta densité de charge (quelque peu capillotractée ).

    Pour le potentiel on a:



    ce qui s'écrit aussi en termes du champ électrique:



    Par conséquent :



    Il existe donc un champ vectoriel U(x,y,z) tel que



    Donc E peut s'écrire :



    Donc E et B ne peuvent être formellement identiques en r=0. En effet supposons que E et B sont formellement identiques. On a alors:



    et donc



    Mais par hypothèse # 0 en r=0

    Par conséquent div(B) # 0 en r=0 ce qui est en contradiction avec div(B) = 0 partout.

    Donc E et B ne peuvent être formellement identiques.

    Erre-je ?

  16. #15
    b@z66

    Re : énigme électrostatique

    Salut,

    Petite question en passant, j'ai vu sur le site suivant:
    http://assocampus.ifrance.com/pages/dipo.htm
    que le potentiel pouvait être considéré comme la résultante de deux densités de charges dipolaires: une volumique et une autre surfacique. Je ne comprend toutefois pas pourquoi seule l'expression volumique a une influence dans l'équation de Poisson étant donné que la densité surfacique peut apparaitre comme une densité volumique infinie sur un surface infiniment fine. Avez-vous une explication à cette interrogation?

    Merci.

  17. #16
    invite455504f8

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    Tu me rassures

    Donc prenons ta densité de charge (quelque peu capillotractée ).

    Pour le potentiel on a:



    ce qui s'écrit aussi en termes du champ électrique:



    Par conséquent :



    Il existe donc un champ vectoriel U(x,y,z) tel que



    Donc E peut s'écrire :



    Donc E et B ne peuvent être formellement identiques en r=0. En effet supposons que E et B sont formellement identiques. On a alors:



    et donc



    Mais par hypothèse # 0 en r=0

    Par conséquent div(B) # 0 en r=0 ce qui est en contradiction avec div(B) = 0 partout.

    Donc E et B ne peuvent être formellement identiques.

    Erre-je ?

    c'est tout à fait ça!!
    en fait ce que l'on considère comme l'expression correcte du champ électrique (ou magnétique) créé par un dipôle est incomplète: il manque un terme en : il n'est pas le même pour le champ électrique et le champ magnétique
    Pour le champ magnétique ce terme est à l'origine du terme de Darwin dans la correction des niveaux d'énergie de l'hydrogène.
    Pour le champ électrique, l'expression correcte permet de faire correctement la théorie des milieux effectifs de Lorentz (pour obtenir la relation de Clausius-Mossotti).
    Les expressions correctes sont données dans Jackson mais il a fallu attendre Hannay en 1983 pour avoir une théorie correcte de la formule de clausius-mossotti (qui a plus d'un siècle!) Eur J. Phys. 4 (1983) 141-143.

  18. #17
    invitefa5fd80c

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par feldid Voir le message

    c'est tout à fait ça!!
    en fait ce que l'on considère comme l'expression correcte du champ électrique (ou magnétique) créé par un dipôle est incomplète: il manque un terme en : il n'est pas le même pour le champ électrique et le champ magnétique
    Pour le champ magnétique ce terme est à l'origine du terme de Darwin dans la correction des niveaux d'énergie de l'hydrogène.
    Pour le champ électrique, l'expression correcte permet de faire correctement la théorie des milieux effectifs de Lorentz (pour obtenir la relation de Clausius-Mossotti).
    Les expressions correctes sont données dans Jackson mais il a fallu attendre Hannay en 1983 pour avoir une théorie correcte de la formule de clausius-mossotti (qui a plus d'un siècle!) Eur J. Phys. 4 (1983) 141-143.
    Intéressante énigme

    Si tu en as d'autres, n'hésite pas

  19. #18
    invitefa5fd80c

    Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    Salut,

    Petite question en passant, j'ai vu sur le site suivant:
    http://assocampus.ifrance.com/pages/dipo.htm
    que le potentiel pouvait être considéré comme la résultante de deux densités de charges dipolaires: une volumique et une autre surfacique. Je ne comprend toutefois pas pourquoi seule l'expression volumique a une influence dans l'équation de Poisson étant donné que la densité surfacique peut apparaitre comme une densité volumique infinie sur un surface infiniment fine. Avez-vous une explication à cette interrogation?

    Merci.
    Salut,

    Si tu examines son développement, tous les calculs sont basés sur le potentiel coulombien dû à chaque charge ponctuelle et il effectue la somme sur l'ensemble des charges ponctuelles. Il passe à la limite continue et obtient une intégrale de volume. Cette intégrale est alors séparée artificiellement en une intégrale de volume et une intégrale de surface.

    Ces deux intégrales sont celles que l'on obtient pour le potentiel coulombien produit de façon conjointe par une distribution surfacique et une distribution volumique de charges. Mais ces deux distributions ne représentent pas la distribution réelle de charges: il prend d'ailleurs bien soin de parler de distributions de charges fictives. La distribution volumique ainsi introduite ne correspond pas à celle que l'on doit utiliser dans l'équation de Poisson.

  20. #19
    b@z66

    Wink Re : énigme électrostatique

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    Salut,

    Si tu examines son développement, tous les calculs sont basés sur le potentiel coulombien dû à chaque charge ponctuelle et il effectue la somme sur l'ensemble des charges ponctuelles. Il passe à la limite continue et obtient une intégrale de volume. Cette intégrale est alors séparée artificiellement en une intégrale de volume et une intégrale de surface.

    Ces deux intégrales sont celles que l'on obtient pour le potentiel coulombien produit de façon conjointe par une distribution surfacique et une distribution volumique de charges. Mais ces deux distributions ne représentent pas la distribution réelle de charges: il prend d'ailleurs bien soin de parler de distributions de charges fictives. La distribution volumique ainsi introduite ne correspond pas à celle que l'on doit utiliser dans l'équation de Poisson.
    Merci à toi, tout d'abord. Effectivement, j'avais vu que la distribution volumique de charge était fictive mais elle est quand même utile en intervenant dans la formule de poisson car son expression (r(M) = - div P(M)) était utilisée dans le paragraphe 2.2 du lien. Pour ce qui est de la densité surfacique de charge, je m'excuse car en cherchant un peu plus j'ai compris que la solution consistait en fait à intégrer la distribution dipolaire sur un volume suffisamment grand de façon à ce que cette densité soit nulle sur sa surface. Encore merci à toi quand même.

  21. #20
    invite455504f8

    Re : énigme électrostatique

    en fait c'est un peu plus compliqué que ça....
    lorsqu'on considère une région de l'espace qui comporte une répartition continue de dipôles, caractérisée par une densité de polarisation P,
    on montre que cet ensemble de dipôles est équivalente (cad produit le même champ) qu'une répartition de charges de densité -div(P).
    Le potentiel scalaire est alors une solution de
    Prenons l'exemple d'une répartition uniforme dans une sphère (c'est un exo classique).
    Répartition uniforme veut dire que la densité de polarisation est la même en tout point de la sphère: soit P (c'est donc une constante).
    Le résultat précédent nous dit cette densité est équivalent à la répartition de charge -div(P).
    Mais combien vaut -div(P) si P est constant?
    eh bien ça n'est pas 0 !!!
    Pourquoi? La densité de polarisation est certes constante dans la sphère mais elle est nulle en dehors! Elle est donc discontinue lorsque l'on traverse la sphère!
    On montre alors que
    où n est la normale extérieure à la sphère et la fonction de dirac de la surface
    PAr conséquent on a:

    l'intégrale portant sur la surface seulement
    la conclusion c'est que les termes de volume et de surface sont simultanément dans le terme div(P): ce terme possède une partie régulière et une partie singulière.
    Pour bien comprendre il faut avoir suivi un cours sur la théorie des distributions de Schwartz

  22. #21
    b@z66

    Re : énigme électrostatique

    Merci pour cette précision et cet exemple très parlant, feldid ,donc si je comprend bien cette distribution surfacique est due à discontinuité de la densité dipolaire P(M) sur cette surface et qu'elle n'existerait pas si cette transition vers une densité nulle se faisait de façon continue (je connais pas super bien la théorie des distributions mais je m'en sort au moins avec les dirac!!!). Dans le même genre, ça me rappelle une démarche analogue en automatique où lorsque l'on calcule la transformée de Laplace d'une dérivée, on retranche un terme égal à f(0+) qui correspond à l'apparition d'une singularité du type dirac dans le domaine temporel à cause d'une discontinuité. Il n'empêche que je n'avais pas vraiment fait le rapprochement et que l'exemple que tu m'as donné m'a permis de bien comprendre la signification de cette densité surfacique. Encore merci.

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