Considérez le potentiel (scalaire)créé par un dipôle électrique p
et le potentiel (vecteur)
(les dipôles sont statiques)
pour le champ électrique on a:
et pour le champ magnétique
par suite:
Maintenant si on regarde les expression obtenues pour E et B, on constate qu'elles sont (formellement) identiques (inverser p et M et
par conséquent:
on a donc
comme E et B sont nuls à l'infini, ils sont donc identiquement nuls
Votre avis?
Salut,
Bien essayé !Hum, je crois voir des différences entre les expressions pourtant...Maintenant si on regarde les expression obtenues pour E et B, on constate qu'elles sont (formellement) identiques (inverser p et M et
Oui mais tu ne peux pas permuter le potentiel scalaire avec le potentiel vecteur. non?Envoyé par feldid
Considérez le potentiel (scalaire)
et le potentiel (vecteur)
(les dipôles sont statiques)
pour le champ électrique on a:
et pour le champ magnétique
par suite:
Maintenant si on regarde les expression obtenues pour E et B, on constate qu'elles sont (formellement) identiques (inverser p et M et
par conséquent:
on a donc
comme E et B sont nuls à l'infini, ils sont donc identiquement nuls
Votre avis?
SalutMaintenant si on regarde les expression obtenues pour E et B, on constate qu'elles sont (formellement) identiques (inverser p et M et
Ces expressions originent du développement des potentiels en harmoniques sphériques.
Elles représentent bien les champs uniquement hors de la région où se trouvent les sources. Et hors de la région où se trouvent les sources, la divergence de E et le rotationnel de B (dans le cas statique) sont toujours nuls.
La divergence de B quant à elle est toujours nulle et le rotationnel de E dans le cas statique est toujours nul aussi.
En résumé, dans le cas statique et loin des sources, la divergence et le rotationnel de E et B sont toujours nuls, sans que les champs soient nécessairement nuls.
bien sûr le problème vient de la singularité à l'origine.
Mais quand même: j'ai supposé les dipôles ponctuels (ce qui est critiquable physiquement mais en revanche mathématiquement c'est parfaitement défini)
alors le potentiel scalaire est rigoureusement:
comme solution (au sens des distributions) de
de même pour le potentiel vecteur
ensuite on prend le gradient du premier et le rotationnel du second
et
le champ électrique étant un gradient (dans tout l'espace!) possède un rotationnel nul dans tout l'espace (y compris en 0)
le champ magnétique étant un rotationnel (dans tout l'espace!) possède une divergence nulle dans tout l'espace y compris en 0
si les expressions des champs sont identiques on doit conclure que divE=0 et rotB=0
où est l'erreur?
Le moment dipolairebien sûr le problème vient de la singularité à l'origine.
Mais quand même: j'ai supposé les dipôles ponctuels (ce qui est critiquable physiquement mais en revanche mathématiquement c'est parfaitement défini)
alors le potentiel scalaire est rigoureusement:
[...]
où est l'erreur?
Tu as donc démontré qu'un moment dipolaire nul produit un champ nul
pas du tout, un moment dipolaire ponctuel de moment P placé en 0 est représenté par la densité de polarisation
(de même qu'une charge ponctuelle q est représentée par la densité de charge
Excuse-moi mais personnellement je trouve que tu vas un peu vite à cet endroit dans ton raisonnement, E et B ne sont pas nuls en réalité à l'infini: ils tendent vers 0 mais ne sont pas "strictement" nul. En conséquence, se servir de la propriété du Laplacien pour ensuite dire que E et B sont donc nul partout est un peu exagéré et cela est indépendant du cas des dipôles mais est valable plus généralement pour tous les cas d'électrostatique.
on a donc
comme E et B sont nuls à l'infini, ils sont donc identiquement nuls
Votre avis?
Sans avoir étudié véritablement le problème, on peut rapprocher cela du principe de l'unicité d'une situation d'électrostatique qui dit qu'en considérant les mêmes sources ainsi que la même connaissance d'un potentiel sur une surface entourant la région d'intérêt, cela conduit à l'unicité des champs. Le problème est que si tu prends une surface suffisamment grande de sorte que tes potentiels tendent dessus vers 0, tu ne pourras toujours pas rapprocher cela du cas où les potentiels sont véritablement nul car l'erreur commise en pourcentage entre ces situations reste infinie! Par contre, je pense que tu pourrais rapprocher deux situations où la décroissance des champs (en 1/r,1/r2,...) tend à devenir identique à l'infinie, l'erreur en pourcentage alors a tendance à diminuer.
Dernière modification par b@z66 ; 26/01/2007 à 17h19.
Re : énigme électrostatique
De plus des champs vraiment "nuls" à l'infini impliqueraient la présence d'un "blindage" sur lequel des distributions de charges se formeraient pour annuler le champ à l'extèrieur: cela sort donc des cas que tu nous proposes où seuls les dipôles sont présents.
Lorsque tu dis que le potentiel scalairepas du tout, un moment dipolaire ponctuel de moment P placé en 0 est représenté par la densité de polarisation
(de même qu'une charge ponctuelle q est représentée par la densité de charge
Le moment dipolaire
L'expression
Ici j'ai utilisé les unités gaussiennes et :
Donc lorsque tu dis que
dire qu'un champ est nul à l'infini signifie exactement qu'il tend vers 0 lorsque la distance du point d'observation à la source tend vers l'infini.
L'erreur n'est pas là
?????De plus des champs vraiment "nuls" à l'infini impliqueraient la présence d'un "blindage" sur lequel des distributions de charges se formeraient pour annuler le champ à l'extèrieur: cela sort donc des cas que tu nous proposes où seuls les dipôles sont présents.
si l'extension des sources est finie, les champs sont nuls à l'infini....
ce n'est pas du tout ce que je disLorsque tu dis que le potentiel scalaire
Le moment dipolaire
un moment dipôlaire ponctuel est représenté par la densité de polarisation
la densité de charge correspondante est
le potentiel scalaire que j'ai écrit est la solution de l'EDP:
avec potentiel nul à l'infini (on peut toujours rajouter une constante si on ne veut pas de cette jauge-là)
il s'agit d'un pur résultat de maths, ça ne prête pas à discussion...
maintenant il est clair que représenter une répartition de charges ( de charge totale nulle) par un dipôle ponctuel c'est, du point de vue de la physique, un modèle, dont la validité dépend de ce que l'on veut faire. Ce n'est pas la question ici....
l'erreur n'est pas là.....(précision: je sais parfaitement que le résultat est faux! je sais aussi pourquoi! Je propose simplement cela comme une (petite) énigme, à titre amical
Tu me rassures(précision: je sais parfaitement que le résultat est faux! je sais aussi pourquoi! Je propose simplement cela comme une (petite) énigme, à titre amical
Donc prenons ta densité de charge (quelque peu capillotractée
Pour le potentiel on a:
ce qui s'écrit aussi en termes du champ électrique:
Par conséquent :
Il existe donc un champ vectoriel U(x,y,z) tel que
Donc E peut s'écrire :
Donc E et B ne peuvent être formellement identiques en r=0. En effet supposons que E et B sont formellement identiques. On a alors:
et donc
Mais par hypothèse
Par conséquent div(B) # 0 en r=0 ce qui est en contradiction avec div(B) = 0 partout.
Donc E et B ne peuvent être formellement identiques.
Erre-je ?
Salut,
Petite question en passant, j'ai vu sur le site suivant:
http://assocampus.ifrance.com/pages/dipo.htm
que le potentiel pouvait être considéré comme la résultante de deux densités de charges dipolaires: une volumique et une autre surfacique. Je ne comprend toutefois pas pourquoi seule l'expression volumique a une influence dans l'équation de Poisson étant donné que la densité surfacique peut apparaitre comme une densité volumique infinie sur un surface infiniment fine. Avez-vous une explication à cette interrogation?
Merci.
Tu me rassures
Donc prenons ta densité de charge (quelque peu capillotractée
Pour le potentiel on a:
ce qui s'écrit aussi en termes du champ électrique:
Par conséquent :
Il existe donc un champ vectoriel U(x,y,z) tel que
Donc E peut s'écrire :
Donc E et B ne peuvent être formellement identiques en r=0. En effet supposons que E et B sont formellement identiques. On a alors:
et donc
Mais par hypothèse
Par conséquent div(B) # 0 en r=0 ce qui est en contradiction avec div(B) = 0 partout.
Donc E et B ne peuvent être formellement identiques.
Erre-je ?
c'est tout à fait ça!!
en fait ce que l'on considère comme l'expression correcte du champ électrique (ou magnétique) créé par un dipôle est incomplète: il manque un terme en
Pour le champ magnétique ce terme est à l'origine du terme de Darwin dans la correction des niveaux d'énergie de l'hydrogène.
Pour le champ électrique, l'expression correcte permet de faire correctement la théorie des milieux effectifs de Lorentz (pour obtenir la relation de Clausius-Mossotti).
Les expressions correctes sont données dans Jackson mais il a fallu attendre Hannay en 1983 pour avoir une théorie correcte de la formule de clausius-mossotti (qui a plus d'un siècle!) Eur J. Phys. 4 (1983) 141-143.
Intéressante énigme
c'est tout à fait ça!!
en fait ce que l'on considère comme l'expression correcte du champ électrique (ou magnétique) créé par un dipôle est incomplète: il manque un terme en
Pour le champ magnétique ce terme est à l'origine du terme de Darwin dans la correction des niveaux d'énergie de l'hydrogène.
Pour le champ électrique, l'expression correcte permet de faire correctement la théorie des milieux effectifs de Lorentz (pour obtenir la relation de Clausius-Mossotti).
Les expressions correctes sont données dans Jackson mais il a fallu attendre Hannay en 1983 pour avoir une théorie correcte de la formule de clausius-mossotti (qui a plus d'un siècle!) Eur J. Phys. 4 (1983) 141-143.
Si tu en as d'autres, n'hésite pas
Salut,Salut,
Petite question en passant, j'ai vu sur le site suivant:
http://assocampus.ifrance.com/pages/dipo.htm
que le potentiel pouvait être considéré comme la résultante de deux densités de charges dipolaires: une volumique et une autre surfacique. Je ne comprend toutefois pas pourquoi seule l'expression volumique a une influence dans l'équation de Poisson étant donné que la densité surfacique peut apparaitre comme une densité volumique infinie sur un surface infiniment fine. Avez-vous une explication à cette interrogation?
Merci.
Si tu examines son développement, tous les calculs sont basés sur le potentiel coulombien dû à chaque charge ponctuelle et il effectue la somme sur l'ensemble des charges ponctuelles. Il passe à la limite continue et obtient une intégrale de volume. Cette intégrale est alors séparée artificiellement en une intégrale de volume et une intégrale de surface.
Ces deux intégrales sont celles que l'on obtient pour le potentiel coulombien produit de façon conjointe par une distribution surfacique et une distribution volumique de charges. Mais ces deux distributions ne représentent pas la distribution réelle de charges: il prend d'ailleurs bien soin de parler de distributions de charges fictives. La distribution volumique ainsi introduite ne correspond pas à celle que l'on doit utiliser dans l'équation de Poisson.
Re : énigme électrostatique
Merci à toi, tout d'abord. Effectivement, j'avais vu que la distribution volumique de charge était fictive mais elle est quand même utile en intervenant dans la formule de poisson car son expression (r(M) = - div P(M)) était utilisée dans le paragraphe 2.2 du lien. Pour ce qui est de la densité surfacique de charge, je m'excuse car en cherchant un peu plus j'ai compris que la solution consistait en fait à intégrer la distribution dipolaire sur un volume suffisamment grand de façon à ce que cette densité soit nulle sur sa surface. Encore merci à toi quand même.
en fait c'est un peu plus compliqué que ça....
lorsqu'on considère une région de l'espace qui comporte une répartition continue de dipôles, caractérisée par une densité de polarisation P,
on montre que cet ensemble de dipôles est équivalente (cad produit le même champ) qu'une répartition de charges de densité -div(P).
Le potentiel scalaire est alors une solution de
Prenons l'exemple d'une répartition uniforme dans une sphère (c'est un exo classique).
Répartition uniforme veut dire que la densité de polarisation est la même en tout point de la sphère: soit P (c'est donc une constante).
Le résultat précédent nous dit cette densité est équivalent à la répartition de charge -div(P).
Mais combien vaut -div(P) si P est constant?
eh bien ça n'est pas 0 !!!
Pourquoi? La densité de polarisation est certes constante dans la sphère mais elle est nulle en dehors! Elle est donc discontinue lorsque l'on traverse la sphère!
On montre alors que
où n est la normale extérieure à la sphère et
PAr conséquent on a:
l'intégrale portant sur la surface seulement
la conclusion c'est que les termes de volume et de surface sont simultanément dans le terme div(P): ce terme possède une partie régulière et une partie singulière.
Pour bien comprendre il faut avoir suivi un cours sur la théorie des distributions de Schwartz
Merci pour cette précision et cet exemple très parlant, feldid ,donc si je comprend bien cette distribution surfacique est due à discontinuité de la densité dipolaire P(M) sur cette surface et qu'elle n'existerait pas si cette transition vers une densité nulle se faisait de façon continue (je connais pas super bien la théorie des distributions mais je m'en sort au moins avec les dirac!!!). Dans le même genre, ça me rappelle une démarche analogue en automatique où lorsque l'on calcule la transformée de Laplace d'une dérivée, on retranche un terme égal à f(0+) qui correspond à l'apparition d'une singularité du type dirac dans le domaine temporel à cause d'une discontinuité. Il n'empêche que je n'avais pas vraiment fait le rapprochement et que l'exemple que tu m'as donné m'a permis de bien comprendre la signification de cette densité surfacique. Encore merci.
