Problème de Stefan

[ketchupi]

Bonjour à tous.

Je suis en train de faire un sujet de Polytechnique sur le problème de Stefan, dont les résultats théoriques me seraient bien utile dans l'interaction laser-matériau. Bref, le problèem se compose de trois parties, j'ai réussi à faire les deux premières, mais la première question de la troisième partie me bloque complètement. Voici le sujet :


La question est la suivante : Quelle quantité d'énergie (par unité de surface) doit-on fournir à la banquise quand sa température change de dT ?

J'aurais eu tendance à dire que l'énergie à fournir est sous forme de quantité de chaleur (en vertu du premier principe à pression constante), et que l'on écrit :
avec
(le problème étant unidimensionnel suivant la variable d'espace z)

Le problème est que cette formule serait valable dans le cas où TOUTE la température du solide varierait de dT. Or ce n'est pas le cas, ce n'est que la température de surface. Et là, je stagne un peu. Même en utilisant l'hypothèse de linéarité de la température dans la couche de glace, je ne vois pas quoi dire.

Dans les commentaires des correcteurs, voici les indices donnés :
"au III.1.a, l'augmentation dT de température de surface de la banquise ne se traduit pas par une augmentation globale de sa température de dT, puisqu'à son extrémité, la température est invariable... Un modèle linéaire simple et une intégration (ou un raisonnement de moyenne) introduit un facteur correctif 1/2."

Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre cette question, svp ? Je vous remercie à tous, au moins d'avoir lu ce post jusqu'au bout.
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[feldid]

la température varie en :T(z)=(1-z/h)T(t)
donc si la température de surface varie de dT
la nouvelle répartition de température est
T'(z)=(1-z/h)T+(1-z/h)dT
donc à la profondeur z, la couche élémentaire dz voit sa température augmenter de (1-z/h)dT: on peut calculer la qquantité de chaleur nécessaire puis intégrer sur z variant de 0 à h
Qu'en penses-tu?

[cadiou]

Je viens de traiter cet exercice récemment. Effectivement, il faut prendre la température moyenne de température banquise variant entre T et 0°C soit (T+0)/2=T/2 pour calculer la variation d'enthalpie égale à m.cp.DT/2

[feldid]

je suis d'accord, en détail ça donne:

en intégrant en z on trouve:



l'énoncé est très mal fait, comme bien souvent dans les problèmes de concours il faut faire du retro-ingeneering, i.e. deviner ce que le correcteur veut.....

[A voir en vidéo sur Futura]

[ketchupi]

Je viens de traiter cet exercice récemment. Effectivement, il faut prendre la température moyenne de température banquise variant entre T et 0°C soit (T+0)/2=T/2 pour calculer la variation d'enthalpie égale à m.cp.DT/2

Merci pour vos réponses. Lorsque le calcul est fait, ça paraît simple. Une chose qui me perturbe est justement ce que les correcteurs ont annoté : "une intégration (ou un raisonnement de moyenne)". dans le deuxième cas, pourquoi prendre la moyenne de la température ? Quel est la justification de l'utilisation de ce raisonnement ? Feldid m'a exposé la démonstration, c'est OK, mais Cadiou, quand tu as lu pour la première fois le sujet, qu'est-ce qui t'a poussé à dire qu'il fallait considérer la moyenne en température ?

[cadiou]

En fait, je n'avais pas vu ce coefficient 1/2 au départ. Les commentaires ironiques du jury m'a fait revenir sur les équations et c'est la que j'ai vu qu'il fallait prendre la température moyenne pour l'évaluation de la variation d'enthalpie. Mais c'est vrai que l'énoncé est un peu trompeur...

[ketchupi]

OK Merci à vous deux ! J'aurais peut-être probablement d'autres questions sur le sujet. En tout cas, merci encore !