Bonjour
quelle est la démarche mathématique pour démontrer qu'un miroir parabolique ne produit par d'abérration (in extenso : qu'il est rigoureusement stigmatique) et qu'un miroir sphérique en produit.
PS : les explication intuitives ne me suffisent pas. j'aimerais des démonstration mathématiques.
Merci pour votre aide car je trouve rien sur internet à part du bla bla.
J'ai pas toute la théorie sous la main, mais fais un tour du côté du formalisme de Jones
euh je crois que le formalisme de Jones n'a rien à voir là-dedans. Que vient faire la polarisation des ondes dans l'approximation de l'optique géométrique ?
Il s'agit d'un propriété géométrique de la parabole. Plusieurs façon de la redémontrer.
Par exemple:
- écrire un paramétrage de la parabole
x = f*u^2
y = 2*f*u
- pour un point quelconque M(u), calculer la tangente par dérivation
- prendre un vecteur orthogonal pour avoir la normale
- vérifier que l'angle entre FM et la normale est égal à l'angle entre la normale et l'axe Y
Celà revient à exprimer explicitement la propagation d'un rayon en calculant le rayon réfléchi.
Il y a sûrement aussi des méthodes géométriques moins calculatoires.
Accessoirement, le stigmatisme ne marche que pour un couple de points : la combinaison (foyer-infini). Un miroir parabolique présente des aberrations géométriques dès que les rayons incidents sont inclinés sur l'axe ou si la source au foyer est étendue.
c'est bien ce que je pensais... il faut passer par les propriétés des coniques (beurk je déteste cette branche de la géométrie).
Bon il me reste à prouver que la tangente à tout point de la parabole est la médiatrice au segement qui rejoint la projection de ce point sur la directrice au foyer (si vous me suivez...).
Si tu préfères l'analyse à la géométrie, tu peux aussi calculer le chemin optique depuis la source S jusqu'au point qui t'intéresse (ici le foyer F). Ce chemin optique, c'est ici simplement la distance parcourue (SM+MF où M est un point du miroir) multipliée par l'indice de l'air. Les lois de l'optique te disent que le trajet effectivement suivi est celui qui rend ce chemin optique extremum.
Pour un miroir de forme quelconque, tu calcule SM+MF et si cherches la position M qui rend cette quantité extrémale, tu trouves le point par lequel le rayon est effectivement passé.
Pour un miroir parabolique, avec S à l'infini selon l'axe et F au foyer, on montre que toutes les positions M donnent le même chemin optique ! C'est une autre définition du stigmatisme...
