Bonjour,
Je cherche à résoudre l'exo suivant.
On place une répartition de particules de gaz dans l'espace vide. Calculer mu(r) (masse volumique) partout à l'équilibre.
C'est tout. La question est assez ouverte (c'est celle qu'a eu mon prof de sup à l'oral de l'ENS).
Il faut utiliser la loi de Boltzmann et le théorème de Gauss appliqué à la gravitation (peut-être aussi un peu d'hydrostatique).
Pour l'instant j'ai trouvé une équation reliant mu et r en utilisant la loi de Boltzmann et en calculant la différence d'énergie potentielle entre deux sphères de rayon r et r+dr (le problème est à symétrie sphérique et je suppose qu'à la fin, la température du gaz est uniforme à l'équilibre). Le problème c'est que cette équation n'est pas simple du tout. J'ai trouvé :
d/dr(mu(r)*r)=Gm/kT*(mu(r)*r*d/dr(M(r)/r))
où M(r) est l'intégrale de 0 à r de 4*Pi*r²*mu(r)*dr et m la masse d'une particule
Voilà (j'ai vérifié, c'est au moins homogène).
Pour trouver la température finale T, je comptais utiliser le fait que l'énergie U+Ep du système est constante (repos macroscopique) et que l'on suppose connue l'énergie U + Ep à l'état initial.
Comme vous voyez ce n'est pas simple. J'ai essayé de retourner un peu l'équation pour l'intégrer mais je n'y suis pas arrivé. Peut-être que je me suis planté quelque part, mais à mon avis je n'ai pas pris la bonne pente. Y a-t-il quelqu'un qui souhaiterait m'aider SVP ?
Merci
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