calcul d'une densité volumique mu(r) pour une répartition de particules

[invite11f2a3ff]

Bonjour,

Je cherche à résoudre l'exo suivant.
On place une répartition de particules de gaz dans l'espace vide. Calculer mu(r) (masse volumique) partout à l'équilibre.

C'est tout. La question est assez ouverte (c'est celle qu'a eu mon prof de sup à l'oral de l'ENS).
Il faut utiliser la loi de Boltzmann et le théorème de Gauss appliqué à la gravitation (peut-être aussi un peu d'hydrostatique).

Pour l'instant j'ai trouvé une équation reliant mu et r en utilisant la loi de Boltzmann et en calculant la différence d'énergie potentielle entre deux sphères de rayon r et r+dr (le problème est à symétrie sphérique et je suppose qu'à la fin, la température du gaz est uniforme à l'équilibre). Le problème c'est que cette équation n'est pas simple du tout. J'ai trouvé :

d/dr(mu(r)*r)=Gm/kT*(mu(r)*r*d/dr(M(r)/r))

où M(r) est l'intégrale de 0 à r de 4*Pi*r²*mu(r)*dr et m la masse d'une particule

Voilà (j'ai vérifié, c'est au moins homogène).
Pour trouver la température finale T, je comptais utiliser le fait que l'énergie U+Ep du système est constante (repos macroscopique) et que l'on suppose connue l'énergie U + Ep à l'état initial.

Comme vous voyez ce n'est pas simple. J'ai essayé de retourner un peu l'équation pour l'intégrer mais je n'y suis pas arrivé. Peut-être que je me suis planté quelque part, mais à mon avis je n'ai pas pris la bonne pente. Y a-t-il quelqu'un qui souhaiterait m'aider SVP ?

Merci
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[invite11f2a3ff]

En fait ce sujet m'intéresse parce qu'il correspond à une question que je me pose depuis longtemps. Je me demande comment fait une nébuleuse pour être stable (le sont-elles d'ailleurs ?). J'aimerais bien connaître l'ordre de grandeur de la température d'une nébuleuse, qui joue sûrement un rôle dans l'histoire, mais ce que j'ai en tête, c'est que si elle a des extrémités, alors au niveau des extrémités, des molécules de gaz doivent forcément s'échapper et partir dans l'espace. Le champ de pesanteur de la nébuleuse suffit-il à faire revenir la particule ?
Maintenant que j'y pense, ça doit sûrement être ça. Il faudrait voir l'ordre de grandeur de la taille et de la masse d'une nébuleuse, mais en fait ça doit être tout bête.
Si quelqu'un sait des choses là-dessus, ça m'intéresse.

@+

[invitecaa1450e]

J'avoue que le sujet est plutot amusant... j'ai vaguement essayé et je suis tombé sur un truc du meme genre que toi ( a peu de choses pres ) mais bon evidement c'est assez bancal, d'autant que l'enoncé manque de clarté...
Enfin c'est niveau ENS donc si quelqu'un peut nous aider c'est les "pontes" du forum

[invite11f2a3ff]

Mon prof de spé m'a dit aujourd'hui qu'on pouvait aussi faire internevir de la diffusion. En fait on pourrait écrire, puisqu'on est en statique, que
mu*g-grad(p)=0, (c'est les lois de l'hydrostatique mais en réfléchissant c'est la loi de Fick "compensée" par la gravitation) avec P=mu*R*T/M, et g à exprimer en fonction de mu (encore le th de Gauss). Je n'ai pas encore essayé, mais ça a l'air encore assez compliqué. Si ça se trouve on trouve même une équation semblable.
Je verrai, pour l'instant j'ai pas trop le temps (TIPE ), mais si quelqu'un a envie de s'amuser...

Voilà

@+

[A voir en vidéo sur Futura]