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Calcul de la densité d´une fonction d´une variable aléatoire



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    Calcul de la densité d´une fonction d´une variable aléatoire

    Bonjour, j´ai une question sur le calcul de la densité d´une variable aléatoire fonction d´une autre aléatoire. Il s´agit du passage aux coordonnées polaires. Je croyais avoir compris la formule, mais je n´arrive pas au résultat escompté.

    Supposons une v.a. X = (U,V) dans R2. Je veux passer aux coordonnées polaires Y= (R, teta) = g(X), j´ai donc une fonction g bijective de R2 / {0} dans ]0, infini] x ]0, 2PI]

    Le jacobien J de g-1 est R. Donc je calcule la densité de Y grâce à la formule:

    fY(y) = (fX o g)(y) R-1

    j´obtient: fY(y) = (fX(R.cos(teta),R.sin(teta)). R-1

    Or dans le corrigé, le R est au dessus de la fraction, pas en dessous. Ils obiennent:

    fY(y) = (fX(R.cos(teta),R.sin(teta)). R

    J´ai eu beau recalculer, je ne comprend pas pourquoi. Si quelqu´un a une idée...

    Merci d´avance

    Christophe

    -----


  2. #2
    edpiste

    Re : Calcul de la densité d´une fonction d´une variable aléatoire

    ca serait pas plutôt

    fX = (fY o g) Jac(g) = (fY o g) /R ?

  3. #3
    liberté dignité

    Re : Calcul de la densité d´une fonction d´une variable aléatoire

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    Bonjour, j´ai une question sur le calcul de la densité d´une variable aléatoire fonction d´une autre aléatoire. Il s´agit du passage aux coordonnées polaires. Je croyais avoir compris la formule, mais je n´arrive pas au résultat escompté.

    Supposons une v.a. X = (U,V) dans R2. Je veux passer aux coordonnées polaires Y= (R, teta) = g(X), j´ai donc une fonction g bijective de R2 / {0} dans ]0, infini] x ]0, 2PI]

    Le jacobien J de g-1 est R. Donc je calcule la densité de Y grâce à la formule:

    fY(y) = (fX o g)(y) R-1

    j´obtient: fY(y) = (fX(R.cos(teta),R.sin(teta)). R-1

    Or dans le corrigé, le R est au dessus de la fraction, pas en dessous. Ils obiennent:

    fY(y) = (fX(R.cos(teta),R.sin(teta)). R

    J´ai eu beau recalculer, je ne comprend pas pourquoi. Si quelqu´un a une idée...

    Merci d´avance

    Christophe
    Bonjour,

    En fait la solution est la suivante:

    y=(y1,y2)

    (y1, y2)= g(R, theta)= (R costheta , R sintheta)

    f(R, theta)= f(y1,y2)*la valeur absolue de DET de Jacobien de g

    avec Det de jacobien de g = R

    jacobien de g= ( costheta -Rsintheta ; sin theta r cos theta)

    ---> Densité de (R,theta)= R* f( R costheta , R sintheta)

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