Calcul de la densité d´une fonction d´une variable aléatoire

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai une question sur le calcul de la densité d´une variable aléatoire fonction d´une autre aléatoire. Il s´agit du passage aux coordonnées polaires. Je croyais avoir compris la formule, mais je n´arrive pas au résultat escompté.

Supposons une v.a. X = (U,V) dans R². Je veux passer aux coordonnées polaires Y= (R, teta) = g(X), j´ai donc une fonction g bijective de R² / {0} dans ]0, infini] x ]0, 2PI]

Le jacobien J de g^-1 est R. Donc je calcule la densité de Y grâce à la formule:

f_Y(y) = (f_X o g)(y) R^-1

j´obtient: f_Y(y) = (f_X(R.cos(teta),R.sin(teta)). R^-1

Or dans le corrigé, le R est au dessus de la fraction, pas en dessous. Ils obiennent:

f_Y(y) = (f_X(R.cos(teta),R.sin(teta)). R

J´ai eu beau recalculer, je ne comprend pas pourquoi. Si quelqu´un a une idée...

Merci d´avance

Christophe
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[invite10a6d253]

ca serait pas plutôt

fX = (fY o g) Jac(g) = (fY o g) /R ?

[invite450c3edd]

Bonjour, j´ai une question sur le calcul de la densité d´une variable aléatoire fonction d´une autre aléatoire. Il s´agit du passage aux coordonnées polaires. Je croyais avoir compris la formule, mais je n´arrive pas au résultat escompté.

Supposons une v.a. X = (U,V) dans R². Je veux passer aux coordonnées polaires Y= (R, teta) = g(X), j´ai donc une fonction g bijective de R² / {0} dans ]0, infini] x ]0, 2PI]

Le jacobien J de g^-1 est R. Donc je calcule la densité de Y grâce à la formule:

f_Y(y) = (f_X o g)(y) R^-1

j´obtient: f_Y(y) = (f_X(R.cos(teta),R.sin(teta)). R^-1

Or dans le corrigé, le R est au dessus de la fraction, pas en dessous. Ils obiennent:

f_Y(y) = (f_X(R.cos(teta),R.sin(teta)). R

J´ai eu beau recalculer, je ne comprend pas pourquoi. Si quelqu´un a une idée...

Merci d´avance

Christophe

Bonjour,

En fait la solution est la suivante:

y=(y1,y2)

(y1, y2)= g(R, theta)= (R costheta , R sintheta)

f(R, theta)= f(y1,y2)*la valeur absolue de DET de Jacobien de g

avec Det de jacobien de g = R

jacobien de g= ( costheta -Rsintheta ; sin theta r cos theta)

---> Densité de (R,theta)= R* f( R costheta , R sintheta)