Variance d´une variable aléatoire

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai du mal à comprendre pourquoi la variance d´une v.a. peut être calculée par:

E[X²] - E[X]²


La définition de la variance est: E[X - E[X]]². Comment arrive-t-on de cette définition à E[X²] - E[X]²?

Merci d´avance

Christophe
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[invite35452583]

Bonjour,

J´ai du mal à comprendre pourquoi la variance d´une v.a. peut être calculée par:

E[X²] - E[X]²


La définition de la variance est: E[X - E[X]]². Comment arrive-t-on de cette définition à E[X²] - E[X]²?

Merci d´avance

Christophe

Par linéarité E[X - E[X]]²=(E[X]-E[X])²=0. je suppose que tu voulais écrire E[X - E[X]²].
On a E[X - E[X]²]=E[X²-2XE[X]+E[X]²] d'où par linéarité
=E[X²]-2E[XE[X]]+E[X]²=E[X²]-2E[X]E[X]+E[X]²=E[X²]-E[X]².

[Médiat]

Il "suffit" de l'écrire (de développer)

E[(X - E[X])²] = somme(p_i(x_i - E[X])²)

[EDIT] Grillé une fois de plus

[invite986312212]

il y a aussi une interprétation géométrique. Dans l'espace L^2 des v.a. de carré sommable, E est l'opérateur projection sur la droite engendrée par la v.a. constante égale à 1 (attention il s'agit de carré sommable par rapport à une mesure de proba). E(X^2) est le carré de la norme de X, E(XY) le produit scalaire et l'égalité en question n'est autre que le théorème de Pythagore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Merci, tout s´éclaire pour moi