convergence d´une variable aléatoire

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai un exo de probabilité qui me casse la tête. Je croyais avoir le filon, mais je n´avance pas: Voici l´énoncé et ce que j´ai commencé:

Soit p appartenant à ]0,1[. Pour tout n >= 1. la variable aléatoire Z_n suit la loi binomiale B(n,p). Montrer que quand n -> +infini, Y_n = (Z_n - np)/sqrt(n) converge en loi vers une v.a. normale de loi N(0, sigma²) que l´on déterminera.

J´ai commencé par constater que Z_n est la somme de n lois indépendantes et de même loi de bernouilli X_i. Du coup la formule de Y_n ressemble au début de la formule de la limite centrale. En effet j´ai pour I intervalle de IR:

lim P( somme(1 à n) X_i - n.E[Xi] / sqrt(n).var[Xi] appartient à I) = A = intégrale_I (1/sqrt(2.PI).e^x2/2.dx

Comme les X_i suivent la loi de bernouilli à paramètre p, j´obtiens alors:

lim P( somme(1 à n) X_i - n.p / sqrt(n).p(1-p) appartient à I) = A = ou encore:

lim P( Z_n - n.p / sqrt(n) appartient à I) = lim P(Y_n appartient à I) = p(1-p).A.

Je crois que c´est bon mais à partir de là, je bloque: en effet, je ne vois pas comment en conclure. Il me semble que la v.a. limite recherchée ne peut être que N(0,p(1-p)) mais comment le prouver.

Si quelqu´un a une idée...

merci d´avance

Christophe
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[invite986312212]

salut,

tu as raison, ce qu'on te demande de montrer est un cas particulier du théorème central limite. Je pense toutefois que pour complaire au prof, il te faut essayer de le montrer directement. As-tu essayé de voir ce que donnaient les fonctions caractéristiques?

[invitee75a2d43]

ah non, je n´ai pas essayé les fonctions caractéristiques, je vais essayer.