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convergence d´une variable aléatoire



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    convergence d´une variable aléatoire


    ------

    Bonjour, j´ai un exo de probabilité qui me casse la tête. Je croyais avoir le filon, mais je n´avance pas: Voici l´énoncé et ce que j´ai commencé:

    Soit p appartenant à ]0,1[. Pour tout n >= 1. la variable aléatoire Zn suit la loi binomiale B(n,p). Montrer que quand n -> +infini, Yn = (Zn - np)/sqrt(n) converge en loi vers une v.a. normale de loi N(0, sigma2) que l´on déterminera.

    J´ai commencé par constater que Zn est la somme de n lois indépendantes et de même loi de bernouilli Xi. Du coup la formule de Yn ressemble au début de la formule de la limite centrale. En effet j´ai pour I intervalle de IR:

    lim P( somme(1 à n) Xi - n.E[Xi] / sqrt(n).var[Xi] appartient à I) = A = intégraleI (1/sqrt(2.PI).ex2/2.dx

    Comme les Xi suivent la loi de bernouilli à paramètre p, j´obtiens alors:

    lim P( somme(1 à n) Xi - n.p / sqrt(n).p(1-p) appartient à I) = A = ou encore:

    lim P( Zn - n.p / sqrt(n) appartient à I) = lim P(Yn appartient à I) = p(1-p).A.

    Je crois que c´est bon mais à partir de là, je bloque: en effet, je ne vois pas comment en conclure. Il me semble que la v.a. limite recherchée ne peut être que N(0,p(1-p)) mais comment le prouver.

    Si quelqu´un a une idée...

    merci d´avance

    Christophe

    -----

  2. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : convergence d´une variable aléatoire

    salut,

    tu as raison, ce qu'on te demande de montrer est un cas particulier du théorème central limite. Je pense toutefois que pour complaire au prof, il te faut essayer de le montrer directement. As-tu essayé de voir ce que donnaient les fonctions caractéristiques?

  3. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : convergence d´une variable aléatoire

    ah non, je n´ai pas essayé les fonctions caractéristiques, je vais essayer.

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