Probabilité, variable aléatoire.

[neokiller007]

Salut,

J'ai un exo sur la probabilité mais je ne suis pas sûr de bien comprendre la première question.

Voici l'énoncé:
Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100€; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15€ et si une seule est rouge, il gagne 4€. Dans tous les cas, il ne gagne rien.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain en euros du joueur lors d'un jeu.
1)Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Donc moi je pensais faire:
Loi de probabilité de X, gain du joueur:



Mais le problème c'est qu'il n'y a pas de mise, alors est-ce qu'il faut que j'écrive juste la ligne du bas?
(pour la deuxième question il y a une mise de 10€)
Et est-ce que mes probabilités sont bonnes?

Merci.
-----

[prgasp77]

Bonjour.
Je dirais qu'il y a un soucis : la somme des probabilités est supérieure à un ^^

Etudions pour l'exemple . Cette probabilité peut s'exprimer comme le nombre de cas favorable divisé par le nombre de cas possibles.

Nombre de cas favorables : nombre de combinaisons comprenant 2 boules rouges et 1 boule blanche parmi 10 boules (dont 6 rouges et 4 blanches).
Soit

Nombre de cas possibles : nombre de combinaisons de 3 boules parmi 10 :

Ainsi,

Note : vérifie mes calculs, en combinatoire je fais (très) souvent des erreurs.
Bonne chance.

[danyvio]

Bonjour.
Je dirais qu'il y a un soucis : la somme des probabilités est supérieure à un ^^

Non, elle indiquée comme égale à 4/10 +2/10 +5/40 +2/10 =9,25/10 ce qui est inférieur à 1 bizarre

[neokiller007]

oula, j'ai pas encore vu ça prgasp77.
Et comme le dit danyvio, c'est inférieur à 1...

[A voir en vidéo sur Futura]

[prgasp77]

Oui, pardon, inférieure à un (lapsus). Mais quoi qu'il en soit, elle doit être égale (strictement égale) à 1.

Je peux te le démontrer. Notons l'ensemble de tous les événements, l'univers quoi.


Or,


Ainsi,

C.Q.F.D.

oula, j'ai pas encore vu ça prgasp77.

Erf ! Ca va être super dur à traiter comme exercice sans les combinaisons. Double Erf ! Si, je pense que tu as vu.
, "k parmi n".

[neokiller007]

Erf ! Ca va être super dur à traiter comme exercice sans les combinaisons. Double Erf ! Si, je pense que tu as vu.
, "k parmi n".

Non plus
:?

[prgasp77]

Triple erf.
Balance un fuck à ton prof de ma part, donner un exo pareil sans le cours sur les combi ... Y'a moyen de faire autrement, mais c'est stupide, tu vas perdre ton temps, et dans deux mois tu vas apprendre comment faire autrement

Ce que je te propose, c'est dans chaque cas {X=100}, {X=15} etc., faire la liste des cas favorables (y'en a pas trop trop).

Bonne chance, et surtout bon courage.

[martini_bird]

Salut,

une façon de faire sans les combinaisons : procéder tirage par tirage.

Par exemple, pour calculer P(X=4), on a 4 chances sur 10 de tirer une balle rouge en premier, 6 chances sur 9 de tirer une blanche en second et 5 chances sur 8 de tirer une blanche en dernier soit une probabilité égale à pour cet ordre. Considérant qu'il y a trois possibilités favorables (RBB, BRB, BBR), on a donc
,
(comme l'avait calculé prgasp77, qui a toutefois mélangé le rouge et le blanc ).

Les autres probas se calculent facilement de la même manière, je te donne les réponses pour que tu puisses vérifier.

Cordialement.

[invite42ec2ede]

Tu peux très bien faire un arbre de classement en notant à chaque fois la probabilité que l'évènement arrive. tu y a le droit car c'est une expérience équiprobable.

tu fais les 2 premières branches selon s'il tire ujne boule blanche ou rouge. etc ...

Ensuite à la dernière branche de chaque probabilité, tu déduit ce qu'il gagne ou perd comme argent.



euh question sinon... bernouilli c'est pas dans ce genre de cas qu'on l'utilise ?

[invite35452583]

Ce que je te propose, c'est dans chaque cas {X=100}, {X=15} etc., faire la liste des cas favorables (y'en a pas trop trop).

Bonjour,
Il y a 120 tirages possibles, avec du courage OK mais durant une épreuve de 4h comme le bac, ça "bouffe" une trop grosse partie du temps.
Ce genre de problèmes se résoud en Tle ES et sans option maths ils et elles ne font pas de combinatoire.
Il y a moyen de s'en sortir sans trop de dégats ? : oui avec un arbre.
Le tirage a beau être simultané on ne change rien aux probas en donnant un ordre au tirage des 3 boules.(*)
En notant T1, T2, T3 les tirages, on a (je ne sais pas faire un vrai arbre, et ja'i mis en bleu plutot qu'en blanc )
(P(T1)=R) T1=R --P(T2=R l T1=R)--T2=R--P(T3=R l T1=R et T2=R)--T3=R P(T1=R,T2=R,T3=R)=.?. X=.?.
(P(T1)=R) T1=R --P(T2=R l T1=R)--T2=R--P(T3=B l T1=R et T2=R)--T3=B P(T1=R,T2=R,T3=B)=.?. X=.?.
(P(T1)=R) T1=R --P(T2=B l T1=R)--T2=B--P(T3=R l T1=R et T2=B)--T3=R P(T1=R,T2=B,T3=R)=.?. X=.?.
(P(T1)=R) T1=R --P(T2=B l T1=R)--T2=B--P(T3=B l T1=R et T2=B)--T3=B P(T1=R,T2=B,T3=B)=.?. X=.?.
(P(T1)=B) T1=B --P(T2=R l T1=B)--T2=R--P(T3=R l T1=B et T2=R)--T3=R P(T1=B,T2=R,T3=R)=.?. X=.?.
(P(T1)=B) T1=B --P(T2=R l T1=B)--T2=R--P(T3=B l T1=B et T2=R)--T3=B P(T1=B,T2=R,T3=B)=.?. X=.?.
(P(T1)=B) T1=B --P(T2=B l T1=B)--T2=B--P(T3=R l T1=B et T2=B)--T3=R P(T1=B,T2=B,T3=R)=.?. X=.?.
(P(T1)=B) T1=B --P(T2=B l T1=B)--T2=B--P(T3=B l T1=B et T2=B)--T3=B P(T1=B,T2=B,T3=B)=.?. X=.?.
Puis on calcule la somme des probas donnant X=100, puis celles donannt X=15... on a ainsi la loi de X.
Exemples de calcul de proba :
1ère boule : T1=R 4 rouges et 6 blanches avant le tirage donc P(T1=R)=4/10=2/5
2ème boule : cas T1=R sous-cas T2=B avant de tirer la 2ème boule il y a 3 rouges et 6 blanches P(T2=B l T1=R)=6/9=2/3
3ème boule : cas T1=R sous-cas T2=B sous-sous cas T3=R avant de tirer la 3ème boule il y a 3 rouges et 5 blanches P(T3=B l T1=B et T2=B)=3/5.
P(T1=R, T2=B, T3=R)=(2/5)x(2/3)x(3/5)=4/25
Et ainsi de suite...

13 probas à l'intérieur de l'arbre, 8 à la sortie, 4 (en fait 3) sommes à effectuer. Avec cette méthode c'est faisable en 5'-10' avec un peu d'expériences (et si on ne commence pas à essayer de faire des arbres en informatique sans le matériel ou la compétence pour le faire il resservira) et source de moins d'erreurs (sans les éliminer entendons nous bien) qu'une méthode systématique (étudiant tous les cas), cette méthode supporterait des valeurs plus grandes que 4 et 6 sans problème. C'est en fait à peine plus lent qu'une méthode combinatoire pour le tirage de 3 boules (plus de tirages là la différence de vitesse se fait ressenir).

(*) : justifions ceci avec un raisonnement plutot qu'avec des formules mathématiques car cela pose souvent des problèmes philosphiques aux élèves et étudiants. Imaginons l'expérience de tirages aléatoires suivantes : l'urne est placée derrière un rideau pour un observateur A, un observateur B lui voit le tirage. A ne reçoit que les données brutes x rouges y blanches et note les tirages successifs. B lui voit et note également les tirages mais avec l'ordre de sortie (ou il y a un tirage à trois mains et note pour chaque main, ou une seule main tirant trois boules mais il y en a toujours une plus près de la grosse articulation du pouce, une plus éloignée et l'autre intermédiaire, bref il a un moyen de discerner les trois boules). B note ainsi les résultats des 8 cas de tirages possibles mais également le nombre de fois où il y a eu 3 rouges, 2 rouges et une blanche.... Ces derniers résultats sont identiques à ceux notés par A. Nous sommes selon l'énoncé dans la position de A mais rien n'empêche de faire le calcul comme B, simplement pour nous la distinction entre les 8 cas est artificielle (on ne sait pas ce qui permet à B de distinguer les boules) mais le résultat final concernant la loi de X est la même. (A ce moment on peut oublier l'existence de B )

[invite35452583]

Tu peux très bien faire un arbre de classement en notant à chaque fois la probabilité que l'évènement arrive. tu y a le droit car c'est une expérience équiprobable.

tu fais les 2 premières branches selon s'il tire ujne boule blanche ou rouge. etc ...

Ensuite à la dernière branche de chaque probabilité, tu déduit ce qu'il gagne ou perd comme argent.
euh question sinon... bernouilli c'est pas dans ce genre de cas qu'on l'utilise ?

Bonjour,
même idée : l'arbre
La méthode de Bernouilli suppose des tirages indépendants, non ?

[invite42ec2ede]

Ca dépend de si on remet les boules dans l'urne après chaque tirage ou pas.

Mais voilà une explication:

bernouilli-wikipedia

[invite35452583]

Ca dépend de si on remet les boules dans l'urne après chaque tirage ou pas.

Mais voilà une explication:

bernouilli-wikipedia

Oui mais ici le tirage simultané informe qu'il n'y a pas remise des boules donc pas de méthode de Bernouilli car les tirages ne sont pas indépendants.(Ce qui offre moins de chance de gagner 100 euros )

[martini_bird]

tu fais les 2 premières branches selon s'il tire ujne boule blanche ou rouge. etc ...

Non, il n'y a certainement pas équiprobabilité : au premier tirage, 4/10 pour les rouges contre 6/10 pour les blanches ; au second, les probabilités dépendent du premier tirage...

Cordialement.

[prgasp77]

Bonjour.
De l'encre à coullé depuis ma dernière visite. Oui en effet, l'arbre ... j'avais oublié, c'est bien pratique quand on a pas les outils qu'il faut ...

Sinon pour l'idée d'utiliser Bernoulli, c'est un peu hors sujet étant donné qu'il n'y a pas remise.

Pardon de m'être emporté.

[neokiller007]

Mais c'est que ça bosse par ici
La réponse de martini_bird me convient parfaitement.
J'ai refait les calcul et je trouve la même chose.
J'aurais voulu savoir s'il faut montrer les calculs permettant d'obtenir le tableau.

J'ai fait la question n°2 et je me demande si j'ai bon:
Pour un jeu, la mise est de 10€. Le jeu est-il favorable au joueur, c'est à dire l'espérance mathématiques est-elle supérieur à 10?

Loi de probabilité de X:




Donc le jeu est défavorable au joueur.

Sinon je me demande comment faire pour la troisième question:
Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions:
-soit augmenter la mise de 1€, donc passer à 11€
-soit diminuer chaque gain de 1€, c'est à dire ne gagner que 99€, 14€ ou 3€
Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur?

Il faut que je calcul les deux espérances et que je prenne la plus faible?

Merci.

[invite42ec2ede]

Bonjour.
De l'encre à coullé depuis ma dernière visite. Oui en effet, l'arbre ... j'avais oublié, c'est bien pratique quand on a pas les outils qu'il faut ...

Sinon pour l'idée d'utiliser Bernoulli, c'est un peu hors sujet étant donné qu'il n'y a pas remise.

Pardon de m'être emporté.

Eh du calme, c'est quoi cette ambience ?

je viens lui apporté un peu d'aide, je pose une question par rapport à Bernouilli et j'apporte ensuite une précision dessus (wikipedia). Ma remarque portait justement sur le fait qu'on utilise Bernouilli dans certains cas, c'est-à-dire si on a une remise ou pas. J'ai pas déclaré que Bernouilli était le moyen de resoudre la question. Donc lis mieux la prochaine fois, ça t'éviteras de devoir t'excuser de t'être emporté...

[prgasp77]

Bonsoir ... Je crois que tu prends mal ma remarque, sans trop de raison. Il n'y a aucune attaque, aucun reproche, dans ce que j'ai écris. Je pense que tu associe à l'expressoin "hors-sujet" une conotation trop négative (un dessu de la philo ?), elle signifie juste que la relation de Bernoulli n'est pas adapté à ce sujet, elle est "hors"-sujet

Donc lis mieux la prochaine fois, ça t'éviteras de devoir t'excuser de t'être emporté...

Quand à cette remarque, elle portait sur le fait que j'accusais, à tord, le prof de neokiller de donner un exo trop compliqué pour les outils qu'il possédait. J'avais oublié qu'il était possible de résoudre ce type d'exercice avec un arbre.

Allez, on oubli cet incident (et mes fautes d'orthographe je suis vané), et on fait un large sourir
Bonne nuit.