anneau euclidien et unités

[carogo]

j'ai un problème sur un exercice sur un anneau euclidien. J'ai résolu la plupart des questions mais certaines me reste encore irrésolues. Pouvez-vous me donner quelques pistes pour les résoudre? Merci


Z[√3] est un anneau euclidien
a) pour u=α + β√3 € Q[√3] on pose u*=α - β√3
*= unités
Est ce bien définie?

b) Pour x,y € R peut-on poser (x+y√3)*= x-y√3 ?

c) δ(u) = │uu*│
Montrer que si u= a + b√3, a,b €Z alors δ(u)€N.

d) Montrer que u = a+b√3 est une unité dans Z[i] si et seulement si
δ(u)=1.
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[Seirios]

Bonjour,

a) pour u=α + β√3 € Q[√3] on pose u*=α - β√3
*= unités
Est ce bien définie?

b) Pour x,y € R peut-on poser (x+y√3)*= x-y√3 ?

Ces questions reviennent à se demander si l'écriture sous la forme est unique ; pour IR, ce n'est clairement pas le cas, mais pour Q, ça l'est.

c) δ(u) = │uu*│
Montrer que si u= a + b√3, a,b €Z alors δ(u)€N.

Il suffit d'écrire en fonction de a et b, une identité remarquable fait disparaître le .

d) Montrer que u = a+b√3 est une unité dans Z[i] si et seulement si
δ(u)=1.

Pourrais-tu donner la définition d'une unité ?

[carogo]

Pour la c) ok. En fait le temps que tu répondes j'avais réussi à résoudre mais merci quand même.
Sinons pour le a) & b) je suis un peu perdue. Je ne vois pas par où commencer.
Pour la d), une unité c'est quand il existe un b € R tel que ab = 1 = ba.

[Seirios]

Sinons pour le a) & b) je suis un peu perdue. Je ne vois pas par où commencer.

Pour montrer l'unicité, on peut considérer deux décompositions et montrer que nécessairement elles sont égales ou bien raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe deux décompositions distinctes (le raisonnement fonctionne bien parce que est un irrationnel). Pour montrer qu'il n'y a pas d'unicité, il suffit d'exhiber un contre-exemple.

Pour la d), une unité c'est quand il existe un b € R tel que ab = 1 = ba.

Je ne connaissais ce vocabulaire, pour moi a est simplement inversible...

Sinon, tu peux montrer que si u est inversible (d'inverse v), alors , donc nécessairement ; réciproquement, si , et bien uu*=1, donc l'inverse de u n'est pas bien difficile à trouver.

[A voir en vidéo sur Futura]

[carogo]

ok mais j'ai du mal à comprendre les décompositions...
Je ne vois pas trop de quoi tu parles...

[Seirios]

Et bien a priori, un élément de peut avoir plusieurs écritures sous la forme ; donc est bien définie si pour , on a .

Sur , cela ne pose pas de problème, puisqu'il y a unicité de l'écriture (ce qui se montre par l'absurde en considérant deux décompositions différentes d'un même élément) ; sur , tu as , et il suffit de prendre un contre-exemple pour montrer que n'est pas définie.