Valeur propre et polynôme annulateur :mad2:

[inviteb2f5b6cd]

Bonsoir à tous,

J'ai un pb à un exercice d'algèbre.
u appartient à L(E) où E est une espace vectoriel dimension finie ...

On sait que u(x)=Lambda * x

1) j'ai prouvé que u^k= (Lambda)^k *x et ce par récurrence.

2) On a P(X) = a_n*Xⁿ+...+a₁*X+a₀
où P est un polynôme

On nous pose P(u)=a_n*uⁿ+...+a₁*u+a₀*I

J'ai montré que P(u)(x)=P(lambda)*x
Aussi, on en déduit que si Lambda est valeur propre de u alors P(lambda) est valeur propre de P(u).

3)Il faut montrer que si P est un polynôme annulateur de u alors pour toute valeur propre lambda de u, on a P(Lambda)=0

Ce que j'ai fait>> Soit lambda un valeur propre de u .
On a P(u)=0= a_n*uⁿ+...+a₁*u+a₀*I
Si je compose cela avec x, j'ai
P(u)(x) [[C'est bien une composition ?]] = ...= x*{P(lambda)} =0

On conclut, pour tout x différent de 0, on a forcément P(Lambda)=0
Est ce que j'ai le droit de dire que P(u)(x)=0 car P(u)=0 ??

Sinon, je ne sais pas comment faire, je suis bloqué, ou bien, je n'ai pas pris le bon raisonnement.

Merci d'avance à tous.
-----

[invite9617f995]

Bonjour,

Tout d'abord juste une remarque pour le 1), c'est u^k(x) qui est égal à λ^kx et non u^k ; cette relation marche uniquement pour le vecteur x.

Pour le 3), l'idée est là, mais il faut bien voir que 0=P(u)(x)=P(λ)x n'est pas vrai pour tout x différent de 0, mais juste pour les vecteurs propres de u associés à λ. Cependant, comme tu es assuré de l'existence d'au moins un tel vecteur propre x non nul (en fait il y en a même une infinité mais c'est pas important ici), tu peut en effet conclure que P(λ)=0 car P(λ)x=0 et x non nul.

Sinon, écrire P(u)(x) n'est pas composer P(u) avec x mais appliquer P(u) à x, c'est à dire calculer l'image de x par P(u). Enfin, tu peux en effet dire que P(u)(x)=0 car P(u)=0, car l'image de n'importe quel vecteur par la fonction nulle est nul (il ne s'agit cependant pas d'une multiplication).

Voilà, j'espère avoir été clair.

Silk

[invite288a88b8]

Bonjour,

Tout d'abord juste une remarque pour le 1), c'est u^k(x) qui est égal à λ^kx et non u^k ; cette relation marche uniquement pour le vecteur x.

Pour le 3), l'idée est là, mais il faut bien voir que 0=P(u)(x)=P(λ)x n'est pas vrai pour tout x différent de 0, mais juste pour les vecteurs propres de u associés à λ. Cependant, comme tu es assuré de l'existence d'au moins un tel vecteur propre x non nul (en fait il y en a même une infinité mais c'est pas important ici), tu peut en effet conclure que P(λ)=0 car P(λ)x=0 et x non nul.

Sinon, écrire P(u)(x) n'est pas composer P(u) avec x mais appliquer P(u) à x, c'est à dire calculer l'image de x par P(u). Enfin, tu peux en effet dire que P(u)(x)=0 car P(u)=0, car l'image de n'importe quel vecteur par la fonction nulle est nul (il ne s'agit cependant pas d'une multiplication).

Voilà, j'espère avoir été clair.

Silk

Woooow !!! Merci beaucoup pour cette réponse très claire. J'étais sur la bonne, et mm presque à la bonne conclusion. Merci.

Juste une dernière question. Comment justifier le fait que l'on est sûr qu'il existe au moins un vecteur x non nul ?? C'est parce que l'on travaille dans un esp vectoriel ??

Merci Bien
Bonsoir

[invite9617f995]

Bonjour,

L'existence de x, c'est par construction du polynôme caractéristique.
En effet, si on le note P_u(X) et si λ est racine de P_u et donc valeur propre de u, on a par définition de P_u que det(u-λId)=0 soit encore par propriété du déterminant que Ker(u-λId) est différent de {0}.
Donc il existe un vecteur x non nul qui annule u-λId, et donc tel que u(x)=λx.

Voilà, bonne journée
Silk

[A voir en vidéo sur Futura]