[Besoin d'explication] Polynôme Annulateur

[invite53eec1b0]

Bonsoir à tous,

Alors voilà ça fait une semaine que je planche sur un DM d'algèbre de première année d'ingénieur et chaque questions à faire est un nouveau défi à relever (défi qui se compte en heure huhuh )

Donc j'ai besoin de votre aide pour une question de mon DM (une pour l'instant )

Voici l'énoncé :

On considère un K-espace vectoriel de E, où K=R ou C.
Pour tout endomorphisme f de E et tout entier naturel n, on note fⁿ=f°...°f, n fois, avec la convention f⁰=Id_E
Pour tout polynôme P€ K[X], tel que P=SOMME(de i=0 à n)a_iXⁱ, on note P(f)=SOMME(de i=0 à n)a_ifⁱ.
On dit que le polynôme P est un polynôme annulateur de f ssi p!=0_K[X] et P(f)=0_End(E).

Et voilà la question qui pose problème :

On suppose dans cette question que f admet un polynôme annulateur de degré 2 dont les racines a et b sont distinctes.

Montrer que pour tout polynôme P€K[X], on a :

P(f)= [{P(a)-P(b)}/{a-b}]f + [{aP(b)-bP(a)}/{a-b}]Id_E

D'avance merci et have fun with me
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[invite14e03d2a]

Salut!

Un indice: utilise la division euclidienne de P par le polynôme annulateur de l'énoncé.

[invite53eec1b0]

Oki merci je vais voir ce que je peux faire avec ton indice, je te tiens au courant !

[invite69b3ca37]

bonjour
jme suis panchee sr le probleme et je ne vois pas comment retouver l'expression recherchee.
jai considéré K(X) le quotient de la division, Q(X) l'ideal annulateur et R le reste.
On sait que R(f)=P(f). De plus Q est de degré 2 et de racines distinctes a et b donc se factorise ss la forme (X-a)(X-b)donc la division de P par Q s'ecrit
P(f)=K(f)Q(f)+R(f)
=K(f) (f-a)(f-b)+P(f)
et là je suis perdue je ne sais pas du tout comment parvenir au résultat... une piste?

[A voir en vidéo sur Futura]

[MOHAMED_AIT_LH]

bonsir

Tu écrit :




en substituant puis à l'indeterminée tu obtient :



Ceci te permet de calculer et

Tu reviens à en haut et tu substitue à l'indeterminée ...

[invite53eec1b0]

Merci beacoup à vous deux j'ai pu réussir à finir cette question et la suivante nottament grâce à ton indice

J'aurais maintenant dernière une question.

Dans mon DM j'ai une question facultative à faire et j'ai l'impression qu'elle ressemble à un théorème :

Montrer que si E est de dimension finie, alors f admet nécessairement un polynôme annulateur.

Donc voilà je voudrait savoir si quelqu'un connait ce présumé théorème et évidemment la Démonstration qui va bien

Sinon je suis preneur de toutes aides que ce soient un indice où la méthode pour résoudre cet exercice !

Merci à vous et bonne soirée

[invite6f25a1fe]

Oui ca ressemble beaucoup à un théorème important : le théorème de Cayley-Hamilton.
Il dit que le polynome charactéristique de tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimmension finie est polynome annulateur de cet endormorphisme.

Par contre, de souvenir, ce n'est pas spécialement évident à montrer comme théorème. Je crois qu'il y a un moyen en passant par les matrices compagnes etc... (où le théorème se démontre bien). Après, j'avoue que mes souvenirs sont flous, désolé Je suppose qu'il faut transporter la propriété au reste des matrices. Il me semble qu'on peut montrer que toute matrice A est semblable à une matrice compagne. Mais est ce que ca suffit pour montrer le théorème ... ?

[invite53eec1b0]

oki merci je vais voir ça !!
Surtout les matrices compagnes vu que je ne sais pas ce que c'est et qu'on en parle pas dans mon cours !! ><

[bubulle_01]

Tu n'as pas besoin de Cayley Hamilton pour autant.
L'espace des matrices de dimension n est n^2.
Alors (A^0,A,A^2,...,A^n²) est liée ...

[invite6f25a1fe]

C'est vrai que j'ai un peu envoyé l'usine à gaz sur ce coup là. Bien vu bubulle_01