Polynome annulateur de matrice et rotation plane

[invite13469fe4]

Bonjour,

je me penche sur un exercice d'Oral de concours. Avec les moyens de maths spé PC, je n'arrive pas au bout. Le voici :
Soit une matrice réelle telle que :
.
Montrer que est semblable à

Première idée :
Le polynôme annulateur est scindé à racines simple sur . Donc, est semblable à
, qui est elle même semblable à .
Problème : les matrices de passage sont complexes. Je ne vois pas comment montrer que (si et sont les matrices de passage des similitude précédentes) est réelle.

Deuxième idée:
Il est clair, via le polynôme annulateur vu sur , que 0 est une racine simple de A qui est donc semblable à une matrice de la forme

En transposant la relation , on montre finalement que est semblable à une matrice de la forme

Je ne suis pas très fier de cette façon de montrer que les premières ligne et colonne sont nulles. Si quelqu'un a plutôt un argument de stabilité à me donner, je suis preneur.
La matrice avec les croix, je l'appelle . Elle vérifie aussi .
Elle est inversible puisque son noyau est réduit au vecteur nul (cf les valeurs propres complexes de .
Il me reste à montrer que c'est une rotation d'angle .
J'obtiens , et les conséquences sur le déterminant et les coeffs, mais je n'arrive pas à conclure.
Quelqu'un saurait-il m'aider ?

Merci !
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[invite13469fe4]

Je voulais dire

[ericcc]

En reprenant ta deuxième idée : 0 est valeur propre, donc tu peux bien la mettre sous la forme de matrice triangulaire avec une première ligne et colonne nulle
Il te reste la matrice 2x2 inversible qui vérifie également l'égalité (-), tu utilises le fait que pour une matrice 2x2, on a A²=tr(A)A-det(A)Id, qui est le théorème de Cayley-Hamilton en dimension 2
Donc A^3=tr(A)A²-det(A)A=tr²(A)A-tr(A)det(A)Id-det(A)A=-A
Le terme tr(A)det(A) est donc nul, donc tr(A) est nul car la matrice est inversible.
Donc det(A)=1 et A est une rotation de pi/2

[invite13469fe4]

Merci ! C'est joli...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite13469fe4]

Comment conclue-t'on que c'est bien la rotation d'angle pi/2 avec seulement det A =1 ?
Ca ne me paraît pas évident, même si ca l'est sûrement d'après ta réponse...

[ericcc]

Oui tu as raison il faut également montrer que A est orthogonale ce qui me paraissait évident au vu de la diagonalisation, mais je m'aperçois que c'est peut être plus compliqué que prévu

[invite13469fe4]

C'est effectivement mon problème. Je vais voir si je ne trouve pas de contre-exemple à cet énoncé, car j'ai l'impression qu'il manque des éléments pour conclure (le rang correspond, le déterminant aussi, mais, bon)...
Affaire à suivre, donc. N'hésite pas à me donner une preuve ou un contre-exemple si tu en as.

[ericcc]

Et bien il me semble que toute matrice A 2x2 de la forme

(a c)
(d -a) avec d=-(a²+1)/c

est telle que A²=-Id, et n'est pas forcément une rotation. Par contre elle vérifie bien tr(A)=0 et det(A)=1