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Matrice de rotation complexe



  1. #1
    Mataka

    Matrice de rotation complexe


    ------

    Bonjour, je cherche à savoir s'il est possible d'exprimer une matrice de roation 2D :

    M=( cos(t) sin(t)
    -sin(t) cos(t) )

    Mais sous une forme possiblement complexe, avec un matrice G (2*2) de la forme :

    M = exp (Gt)

    Comment faire ça ?

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Matrice de roation complexe

    Si tu remplaces les cosinus et le sinus par leurs valeurs complexes, tu trouves la somme de 2 matrices qui ressemblent à ce que tu dis.

  4. #3
    Mataka

    Re : Matrice de roation complexe

    Ouin, qui ressemble, mais le problème c'est que c'est pas exactement ça. Il y a pas un autre moyen ?

  5. #4
    Sylvestre

    Re : Matrice de roation complexe

    Citation Envoyé par Mataka Voir le message
    M = exp (Gt)
    Comment faire ça ?
    Le truc est de voir les nombres complexes comme des matrices :

    a+bi correspond à .
    Tu pourras vérifier que la multiplication fonctionne bien.

    Ainsi, correspond à .

    Edit : C'est bizarre le LaTex affiche mal mes alphas
    Programming is understanding

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Mataka

    Re : Matrice de rotation complexe

    D'acord, mais comment tu fait pour correspondre ta matrice à ton nombre complexe ? Je veut dire, je vois pas comme tu fais pour simplement dire ''on fait correspondre'' ... tu peut pas mettre un signe égale entre les deux non ?

    Quand tu dit : ''tu pourra vérifier que la multiplication fonctionne bien'' , quelle multiplication ?

  8. #6
    Ksilver

    Re : Matrice de rotation complexe

    Il veux dire que si on pose Phi : z=a+ib -> la matrice [a b] ,[-b a]


    alors Phi est un morphisme d'algebre Phi(z+z')=phi(z)+phi(z') et phi(zz')=phi(z)phi(z').



    apres est ce qu'on peut ecrire que le complexe est egal à la matrice... et bien on peut convenir d'identifié le complexe à la matrice apres tous ! (donc ecrire qu'ils sont egaux) c'est juste un probleme de convention.



    mais si j'ai bien compris ta question, cela na en fait rien a voir

    en fait, La matrice que tu cherche est la matrice :
    [0,1],
    [-1,0]


    d'ailleur de facon general, il me semble bien que l'ensemble des matrices orthogonal a determinant +1 de Mn, est egal a l'ensemble des matrice {exp(G) ou G est un matrice anti-symetrique.}

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  10. #7
    Mataka

    Re : Matrice de rotation complexe

    Pourrait tu justifié un peu ton affirmation suivante :

    en fait, La matrice que tu cherche est la matrice :
    [0,1],
    [-1,0]

  11. #8
    Ksilver

    Re : Matrice de rotation complexe

    et bien calcule exp(Gt) et tu trouver exactement la matrice de rotation que tu cherche à avoir.

  12. #9
    Mataka

    Re : Matrice de rotation complexe

    Je ne vois vraiment pas comment


    M=( cos(t) sin(t)
    -sin(t) cos(t) ) = exp (Gt)

    avec G =[0,1],
    [-1,0]

    donne une égalité valide, mais vraiment pas ... ?

  13. #10
    Gwyddon

    Re : Matrice de rotation complexe

    Tu reprends la définition de l'exponentielle de matrice, et tu te souviens de tes développements en série entière de cosinus et sinus...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    Sylvestre

    Re : Matrice de rotation complexe

    Citation Envoyé par Mataka Voir le message
    Je ne vois vraiment pas comment


    M=( cos(t) sin(t)
    -sin(t) cos(t) ) = exp (Gt)

    avec G =[0,1],
    [-1,0]

    donne une égalité valide, mais vraiment pas ... ?
    Dans la correspondance que j'ai donnée, tu as G=i, et donc


    Mais la solution de Gwyddon est certainement plus rigoureuse.
    Programming is understanding

  15. #12
    Mataka

    Re : Matrice de rotation complexe

    Ouf, j'ai fini par comprendre ce que certains d'entre vous dites ... sur ce site :

    http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/d...onentielle.pdf

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : Matrice de rotation complexe

    Citation Envoyé par Sylvestre Voir le message
    Dans la correspondance que j'ai donnée, tu as G=i, et donc


    Mais la solution de Gwyddon est certainement plus rigoureuse.
    Mais la tienne a un gros avantage : elle permet de comprendre le pourquoi de la représentation matricielle des complexes, et de "sentir" le résultat à trouver

    Note : si on cherche à faire pareil pour les rotation de , se souvenir de la représentation de SU(2) sur SO(3) ça peut servir
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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