Matrice de rotation complexe

[invite4b31cbd7]

Bonjour, je cherche à savoir s'il est possible d'exprimer une matrice de roation 2D :

M=( cos(t) sin(t)
-sin(t) cos(t) )

Mais sous une forme possiblement complexe, avec un matrice G (2*2) de la forme :

M = exp (Gt)

Comment faire ça ?
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[invitea3eb043e]

Si tu remplaces les cosinus et le sinus par leurs valeurs complexes, tu trouves la somme de 2 matrices qui ressemblent à ce que tu dis.

[invite4b31cbd7]

Ouin, qui ressemble, mais le problème c'est que c'est pas exactement ça. Il y a pas un autre moyen ?

[invite6acfe16b]

M = exp (Gt)
Comment faire ça ?

Le truc est de voir les nombres complexes comme des matrices :

a+bi correspond à .
Tu pourras vérifier que la multiplication fonctionne bien.

Ainsi, correspond à .

Edit : C'est bizarre le LaTex affiche mal mes alphas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b31cbd7]

D'acord, mais comment tu fait pour correspondre ta matrice à ton nombre complexe ? Je veut dire, je vois pas comme tu fais pour simplement dire ''on fait correspondre'' ... tu peut pas mettre un signe égale entre les deux non ?

Quand tu dit : ''tu pourra vérifier que la multiplication fonctionne bien'' , quelle multiplication ?

[invite4ef352d8]

Il veux dire que si on pose Phi : z=a+ib -> la matrice [a b] ,[-b a]


alors Phi est un morphisme d'algebre Phi(z+z')=phi(z)+phi(z') et phi(zz')=phi(z)phi(z').



apres est ce qu'on peut ecrire que le complexe est egal à la matrice... et bien on peut convenir d'identifié le complexe à la matrice apres tous ! (donc ecrire qu'ils sont egaux) c'est juste un probleme de convention.



mais si j'ai bien compris ta question, cela na en fait rien a voir

en fait, La matrice que tu cherche est la matrice :
[0,1],
[-1,0]


d'ailleur de facon general, il me semble bien que l'ensemble des matrices orthogonal a determinant +1 de Mn, est egal a l'ensemble des matrice {exp(G) ou G est un matrice anti-symetrique.}

[invite4b31cbd7]

Pourrait tu justifié un peu ton affirmation suivante :

en fait, La matrice que tu cherche est la matrice :
[0,1],
[-1,0]

[invite4ef352d8]

et bien calcule exp(Gt) et tu trouver exactement la matrice de rotation que tu cherche à avoir.

[invite4b31cbd7]

Je ne vois vraiment pas comment


M=( cos(t) sin(t)
-sin(t) cos(t) ) = exp (Gt)

avec G =[0,1],
[-1,0]

donne une égalité valide, mais vraiment pas ... ?

[invite9c9b9968]

Tu reprends la définition de l'exponentielle de matrice, et tu te souviens de tes développements en série entière de cosinus et sinus...

[invite6acfe16b]

Je ne vois vraiment pas comment


M=( cos(t) sin(t)
-sin(t) cos(t) ) = exp (Gt)

avec G =[0,1],
[-1,0]

donne une égalité valide, mais vraiment pas ... ?

Dans la correspondance que j'ai donnée, tu as G=i, et donc


Mais la solution de Gwyddon est certainement plus rigoureuse.

[invite4b31cbd7]

Ouf, j'ai fini par comprendre ce que certains d'entre vous dites ... sur ce site :

http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/d...onentielle.pdf

[invite9c9b9968]

Dans la correspondance que j'ai donnée, tu as G=i, et donc


Mais la solution de Gwyddon est certainement plus rigoureuse.

Mais la tienne a un gros avantage : elle permet de comprendre le pourquoi de la représentation matricielle des complexes, et de "sentir" le résultat à trouver

Note : si on cherche à faire pareil pour les rotation de , se souvenir de la représentation de SU(2) sur SO(3) ça peut servir