Polynome annulateur
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 8 sur 8

Polynome annulateur



  1. #1
    kaderben

    Polynome annulateur


    ------

    Bonjour tout le monde!
    f est un endomorphisme de Mn(IR) et P(X)=X^2 -2X +1 son polynôme annulateur.
    La matrice M appartient à Mn(IR).
    Question: laquelle des deux écritures ci dessous est juste:
    P(f(M))=(f(M))^2-2f(M)+I =0 I=matrice unité
    ou
    P(f(M))=(f(M))^2-2f(M)+M = 0

    Le problème est le suivant: 1 est remplaçé par I ou par M et pourquoi ?
    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Thorin

    Re : Polynome annulateur

    On laisse I car
    En revanche, on écrit P(f)(M), car il s'agit de l'application P(f), appliquée à la matrice M ;
    de même, on écrit f^2(M) plutôt que f(M)^2, car le premier indique la compose de deux applications, appliquée à M, et le deuxième indique le produit matriciel de 2 matrices, ce qui n'est pas la même chose.
    Exemple : soit l'application f(M)=M-I
    alors f^2(M)=M-2I, mais f(M)^2=M²-2M+I.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  3. #3
    kaderben

    Re : Polynome annulateur

    Bonjour Thorin et merci pour les précisions
    C'était une question posée dans un concours HEC et dans la correction ils écrivent:f^2(M)-2f(M)+M et il précisent:c'est M et non I
    Moi aussi j'ai pensé comme toi.
    Donc la discution est ouverte si quelqu'un peut nous éclairer
    Merci

  4. #4
    Thorin

    Re : Polynome annulateur

    heu toutes mes excuses, je me suis fait avoir dans un premier temps par tes notations inversées, mais c'est bien M, car, justement,

    On voit bien ici l'importance des notations, car , mais !!
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    kaderben

    Re : Polynome annulateur

    Re
    Je te remerci Thorin, maintenant c'est clair...
    Excuse moi pour mes notations inversées!
    Merci

  7. #6
    God's Breath

    Re : Polynome annulateur

    La question n'est pas aussi simple qu'il n'y paraît.

    On dispose d'un endomorphisme de : si appartient à , il en est de même de .

    On dispose également du polynôme .

    On peut envisager de calculer la matrice ; compte-tenu de ; on a :
    , où est la matrice unité.
    Comme on ne sait pas (dans l'état actuel de nos connaissances) que est un polynôme annulateur de , on ne peut pas passer à , c'est-à-dire à

    On peut aussi envisager de calculer l'endomorphisme de ; on a :
    .
    Puis on évalue cet endomorphisme sur :
    .
    Comme est un polynôme annulateur de , l'endomorphisme est nul, donc sa valeur en est nulle, c'est-à-dire :


    Il faut être très attentif au niveau des écritures. On calcule dans le premier cas, dans le second cas, ce qui n'est pas la même chose. De même que, comme l'a très bien fait remarquer Thorin, et sont deux matrices distinctes. Avec ma notation , on a , et .

    En résumé, parmi les écritures proposées :
    est exact, mais ce n'est pas la matrice nulle ;
    est faux.

    La bonne réponse est .
    Dernière modification par God's Breath ; 04/11/2009 à 13h57.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    kaderben

    Re : Polynome annulateur

    Bonjour God's Breath et merci pour ce cours car je ne suis pas du tout qualifié en algèbre linéaire et je fais ça didactiquement.
    J'en profite pour poser une question pratique:comment faire pour avoir les symboles mathématiques ( intégrale,puissance etc...)pendant la rédaction du sujet ?
    Merci encore

  9. #8
    God's Breath

    Re : Polynome annulateur

    Citation Envoyé par kaderben Voir le message
    J'en profite pour poser une question pratique:comment faire pour avoir les symboles mathématiques ( intégrale,puissance etc...)pendant la rédaction du sujet ?
    Toutes les explications sont disponibles en cliquant ici.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

Discussions similaires

  1. Polynome de Q[X]
    Par madininais dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 08/09/2009, 21h15
  2. Polynome annulateur de matrice et rotation plane
    Par invite13469fe4 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 09/07/2009, 17h31
  3. Automatique. Passage d'un polynôme en p à un polynôme en Z
    Par invite1bf94880 dans le forum Physique
    Réponses: 1
    Dernier message: 14/03/2008, 12h03
  4. polynome, m paramètre , différentes valeurs degré du polynome
    Par invited7a80298 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 8
    Dernier message: 15/10/2007, 18h54
  5. annulateur d un endomorphisme
    Par invite298f4897 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 09/04/2006, 16h15