Polynome annulateur

[kaderben]

Bonjour tout le monde!
f est un endomorphisme de Mn(IR) et P(X)=X^2 -2X +1 son polynôme annulateur.
La matrice M appartient à Mn(IR).
Question: laquelle des deux écritures ci dessous est juste:
P(f(M))=(f(M))^2-2f(M)+I =0 I=matrice unité
ou
P(f(M))=(f(M))^2-2f(M)+M = 0

Le problème est le suivant: 1 est remplaçé par I ou par M et pourquoi ?
Merci d'avance.
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[invitec317278e]

On laisse I car
En revanche, on écrit P(f)(M), car il s'agit de l'application P(f), appliquée à la matrice M ;
de même, on écrit f^2(M) plutôt que f(M)^2, car le premier indique la compose de deux applications, appliquée à M, et le deuxième indique le produit matriciel de 2 matrices, ce qui n'est pas la même chose.
Exemple : soit l'application f(M)=M-I
alors f^2(M)=M-2I, mais f(M)^2=M²-2M+I.

[kaderben]

Bonjour Thorin et merci pour les précisions
C'était une question posée dans un concours HEC et dans la correction ils écrivent:f^2(M)-2f(M)+M et il précisent:c'est M et non I
Moi aussi j'ai pensé comme toi.
Donc la discution est ouverte si quelqu'un peut nous éclairer
Merci

[invitec317278e]

heu toutes mes excuses, je me suis fait avoir dans un premier temps par tes notations inversées, mais c'est bien M, car, justement,

On voit bien ici l'importance des notations, car , mais !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Re
Je te remerci Thorin, maintenant c'est clair...
Excuse moi pour mes notations inversées!
Merci

[invite57a1e779]

La question n'est pas aussi simple qu'il n'y paraît.

On dispose d'un endomorphisme de : si appartient à , il en est de même de .

On dispose également du polynôme .

On peut envisager de calculer la matrice ; compte-tenu de ; on a :
, où est la matrice unité.
Comme on ne sait pas (dans l'état actuel de nos connaissances) que est un polynôme annulateur de , on ne peut pas passer à , c'est-à-dire à

On peut aussi envisager de calculer l'endomorphisme de ; on a :
.
Puis on évalue cet endomorphisme sur :
.
Comme est un polynôme annulateur de , l'endomorphisme est nul, donc sa valeur en est nulle, c'est-à-dire :


Il faut être très attentif au niveau des écritures. On calcule dans le premier cas, dans le second cas, ce qui n'est pas la même chose. De même que, comme l'a très bien fait remarquer Thorin, et sont deux matrices distinctes. Avec ma notation , on a , et .

En résumé, parmi les écritures proposées :
– est exact, mais ce n'est pas la matrice nulle ;
– est faux.

La bonne réponse est .

[kaderben]

Bonjour God's Breath et merci pour ce cours car je ne suis pas du tout qualifié en algèbre linéaire et je fais ça didactiquement.
J'en profite pour poser une question pratique:comment faire pour avoir les symboles mathématiques ( intégrale,puissance etc...)pendant la rédaction du sujet ?
Merci encore

[invite57a1e779]

J'en profite pour poser une question pratique:comment faire pour avoir les symboles mathématiques ( intégrale,puissance etc...)pendant la rédaction du sujet ?

Toutes les explications sont disponibles en cliquant ici.